MATEMATYKA073

m. Rachunek różniczkowy

m. Rachunek różniczkowy

b) y = ctghx, d) y = sinh^? 3x.

14. Znaleźć pochodną funkcji: a) y = tghx,

c) y ⁼ In(ctghx),

15. Funkcja y = sinh x, czyli y = -^(e* e ^x) jest funkcją równowarto

ściową na zbiorze R (rys 3.3). Zatem istnieje funkcja odwrotna do niej. Znaleźć tę funkcję i obliczyć jej pochodną.

16. Sprawdzić, źc funkcja y = x In ' x dla każdego x > 0 spełnia równanie (jest rozwiązaniem równania różniczkowego ):

x^:y" xy' + y = 2x.

17. Sprawdzić, że funkcja y = xe ^x dla każdego x g R spełnia równanie

y'" + 2xy" + 6y' = 0

18. Dla funkcji

x<0,

x>0,

x<0, x£ 0

a) f(x) = x|x|, x gR,

znaleźć f'(x), a następnie f"(x) ( dla tych x gR, dla których istnieje). Naszkicować wykresy funkcji y = f(x), y = f'(x), y f''(x). 19. Wyprowadzić wzór na pochodną n-tego rzędu funkcji:

a)y = c'\ b) y = ln(l + x)_t c) y = sin x, d) y = ln(l-3x).

Odpowiedzi

3.    Wsk. f'(l)^hm-^f(-^X)-[^(l^, a) —1/4, b) 3, r) 1/2.

« »i x-l

4.    a) f’(0)nO, b) f'(-2) nic istnieje, c) f'(0) nie istnieje, d) f'(-l)»~3, c) P(0) nic istnieje

5. Wsk f'(0)« limxsin— -0, f’(x)*2xsin--cos— Ula x*0. Pochodna f'(x) nic k *o x    xx

jest cuuda na R

7, a)y-10x-23. b)y«x + 2, c)y--3x+3, d)y«3x/2 8    x/4

9. A(0,l21n2), IKU21n3-5).

10 . A(2,-I5). B(-4/3,5/27)

j) y'-ln(x> ' )+^r^, k)y'»(e"^{n x}+c^{aH X})sin2x. l)y'«(l4-)o ^x, ^x x²*l    *

x²-l

X    3    1 .    V , lnx-l

12 a)y'earclgx+~-j -2x, b) y'«6x‘c<*x-2x^J»nx *co«x, c) y

e)y'*-^jj<c'+xc*), O y'«j7j^2(^2xll»^{x + x}).

d)y*

l+x 2 2arcsinx

xVI-xⁱ

j    2x²

g) y'«-l()co«⁴x*inx, h) y'»3e * ^x(-2x-l), i) y'«ln(l4X²)*y—j.

m) y'*2x(2-xconx + x²sinx)e ^xc0*\ n) y*

(lf4x²)^arUg2x

(Uc ^x)

p) y'

/x(2-x)³

. r) y'=

Wx*-4

, s) y'»(sinx)^2x(2ln»inx f2xctgx).

I

t)    y'*(lnx) (cosx lnlnx fsinx -^^),

„    2x

u)    y'«=(arclg2x) (ln«rctg2x +

(1 +4x^:)arctg2x

)•

I

sinh‘x

c +c (c +e ^x)* cosłrx

-2

^C)y'“ibih2^* d) y' = 3sinh6x.

15 y = y(e*-e~^x), c^2x-2ye^x-l«0, e^x*y+^y²+l, x*ln(y+^y²+l) lub( po zmianieoznaczeń) y = ln(x*Vx^L),xeR, y'xeR.

16 Wsk Obliczyć y', y" i poddawać do równania |8 a)P(X)-2|x|. xcR; f^w(x)«-2dlax<0, f^w(x)=2 dla x>0, HO) me istnieje. b)r(x)>

c) f'(x)-

d) f'(x)'

2-2*: !!>S: ^f"<^x)-{-²i. ££ HO) nie i*nic_Je, -2x + l. x£l. „ f -2    \<|

-l/x². x> 1, ^f iX)m\2/x\ x>\[ ^r(,)n'^cisUlicj^e‘

6x²+2x, xSO,    Jl2x+2, xSO.

2x.    x>0.    ^{x)m[ 2,    x>0

19 a) y^(B)-<-3)"c ^ta.x«R, b) y<“>-«₍_,₎"*»_(n-,₎!₍,4x>“\ _X>-1.

c)y^(n,-sm(x+ny),X€R d) y<«>„_₃n_{n__])?(1_3x) ", x< 1/3.