pkm osinski23

44

1.3, Optymalizacja konstrukcji

45

I. Konstruowanie maszyn

Jeżeli £₍ = R" (m kryteriów jakości), to otrzymuje się w m-wymiarowym zbiorze stanów osiągalnych pewną niewymiarową hiperpowicrzchnię stanów polioptymal nych. Hiperpowierzchni stanów polioptymalnych w n-wymiarowym zbiorze dopusz czalnym odpowiada n-wyraiarowy zbiór rozwiązań polioptymalnych. Każdy punkt dopuszczalny należący do zbioru rozwiązań polioptymalnych jest polioptymalny Panktów tych może być bardzo dużo i nie można jednoznacznie stwierdzić na podstawie definicji Pareto, który z nich jest najlepszy.

Zadanie wyboru konstrukcji polioptymalnej, jeśli zbudowano uprzednio modę matematyczny konstrukcji, może być zrealizowane za pomocą metod polioptymalua• cji. Przegląd metod polioptymalizacji można znaleźć w podręczniku [19].

1.3.5. Przykłady modeli matematycznych konatrukcj

Przykład 1.1. Należy zbudować model matemutycaiy walu drążonego (rys. 1.18), przenoszącego motseiii skręcający Af = IQ00Nm. Zadany jest materiał, z którego wykonuny jcsl wal (stal 55), ora dópuoezalne naprężeniu na skręcanie k, *» 100 MPa. Zc względów technologicznych powinien by spełniony warunek u,    a ze względów konstrukcyjnych warunek D<b. Do obliczeń nulcżj

prryjjŁ ej * 0.1 u, = 0,8. ó = 0,05 m.

potrzeby przypisywania każdej z postaci wnrtości liczbowych, Drugim etapem budowy matematycznego modelu jest określenie zbioru dopuszczalnego. Dp zbioru dopuszczalnego milczą te wartości zmiennych decyzyjnych, które spełniają warunek wytrzymałościowy (aby maksymalne naprężenia skręcające nie były większe od dopuszczalnych) oraz ograniczenia sformułowane w założeniach projektu. Należy też dodać naturalne, zapewniające sens fizyczny ograniczenia, aby wartości zmiennych decyzyjnych d i D były dodatnie. Teraz należy wszystkie ograniczenia przedstawić w' postaci nierówności (lub równości) matematycznych, zależnych tylko od zmiennych decyzyjnych. Warunek wytrzymałościowy

M.D

Po podstawieniu zależności na moment bezwładności przekroju J_a względem osi walu oraz po podstawieniu daoycb liczbowych

(lii#

Pozostałe ograniczenia:

d>a_lD, d<a_xD, D<b, d> 0. 'Ać*(£    (1.14)

Po podstawieniu danych liczbowych zbiór dopuszczalny

L< (cc = (rf.D):D*—d*—S,\- IO"⁵0 > Oj d—0,20 > ft WłD-d > 0; 0,05—i) > 0; <f>0; 0>O).(I.1J)

Trzecim etapem budowy modelu matematycznego jest ustalenie kryterium optymalizacji i przed-: stawienie go jako funkcji zmiennych decyzyjnych. Przy ustalonym rodzaju materiału celem optymalizacji może być minimalizacja masy. co przy ustalonej długości wału jest równoznaczne z minimalizacją pola przekroju poprzecznego. Wskaźnikiem jakości jest więc pole poprzecznego przekroju walu. Należy jeszcze przedstawić wskaźnik jakości jako funkcję zmiennych decyzyjnych. W tym przypadku

Zadanie budowy matematycznego modelu konstrukcji zostało zrealizowane. Przykład ten jest bardzo prosty (niemal trywialny), niemniej jednak pozwala n« prześledzenie w krótkim czasie wszystkich etapów budowy modelu matematycznego: Dla tego przykładu łatwo można przeprowadzić optymalizację, u więc znaleźć (akio waności (c/,,,„ D^\. aby wartość funkcji celu Q była minimalna i aby spełnione były ograniczenia (1.15): W przypadku dwóch zmiennych decyzyjnych użyteczną, szczególnie ze względów

Pierwszym dupciabudowy matematycznego modelu konntrukęji jcst dobór zmiennych decyzyjnych i parametrów optujących konsirukąję. Zmiennymi decyzyjnymi są zewnętrzna i wewnętrzna średnic) •siu Wektor SmSttrjwII deoyiyjoyhl) może być zapisany w postaci x = (d, D). Parametrami M' *( | ItWI Nąt,« KIO MPo. u, - 02, a, « W, b »Ófl5 m. Parametrami tą lakżc: posluć konstrukcy «» geometrii. | Itj ilnuony. ponoć kotulrukcyjna ocChy mntcriutawęj, tj. stal 55. oraz postać obciążenia. tyskięotuK Ponieważ lilii: postacie konitrukcyjiicn| w tym przyklndzJo parametrami, niema wl(<