pkm osinski22

I koMiminwttnK imisr.yn

1.3. Opiy/noti/acja komirukcjl

43

9i

Zadanie wyboru konstrukcji optymalnej, jeśli zbudowano uprzednio mode( aaWmatyczny konstrukcji, może być zrealizowane za pomocą metod optymalizacji, Przegląd metod optymalizacji można znaleźć w podręczniku [19].

Jeśli H, - R" gdzie m = 2, 3.....to operator Q, będący wektorową funkcją

składającą się z m składowych, przyporządkowuje każdemu elementowi x, należącemu do zbioru dopuszczalnego d>, m liczb określających łącznie jakość elementu, Mówi się wtedy o zadaniu paliopiymalizaeji (wiclokryterialności), gdyż m składowych funkcji wektorowej Q. to m różnych funkcji — kryteriów optymalizacji Zbiór celów osiągalnych jest podzbiorem oi-wymiarowej przestrzeni cuklidesowej, | element tego zbioru Q(x) = (ę,(x)....,0jxj), zwany wektorem celów fwskaźi ników jakości), dla ustalonego wektora zmiennych decyzyjnych, jest zbiorem ni liczb określających w artość liczbową poszczególnych wskaźników jakości (składowych wektorowej funkcji argumentu skalarnego lub wektorowego Q). Graficzną ilustrację zadania polioptymalizacji przedstuwiono na rys. 1.15. Wymiarowośf wektora zmiennych decyzyjnych n jest zupełnie niezależna od wymiarowoścj wektora wskaźników jakości m. Liczba zmiennych decyzyjnych n zależy od liczby cech konstrukcyjnych i liczby parametrów, a liczba wskaźników jakości m zależy od tego, jak dużo kryteriów jakości należy brać pod uwagę przy podejj mowaniu decyzji wyboru najlepszego rozwiązania ze zbioru rozwiązań dopuszj cudnych.

Zadanie polioptymalizacji (optymalizacji wielokrytcrialnej) jest bardzo ważne ze ysględu tui zatUHowama praktyczne (w procesie konstruowania należy zazwyczą Uwzględniać wiele często przeciwstawnych kryteriów), a jednocześnie nie tak proste jak zadanie optymalizacji jednokryterialnej, w którym definicja rozwiązani! optymalnego jest oczywista. Gdy jakość rozwiązania oceniana jest nie jedną, led widoma liczbami, pojęcia rozwiązania polioptymalnego nie można zdefiniował kornyotttjąc i relacji porządku liniowego, jak w przypadku optymalizacji. Istniej! wiele mo/liw ości budowy relacji porządkujących wielowymiarową przestrzeń krytej oalna I wiele definicji rozwiązania polioptymalnego. Najważniejsze znaczenie mai definicja sformułowana przez Paulo [ 19]: rozwiązaniem polioptymulnym x_pnt (częsta mówimy rarwniamcro optymalnym w umie Parem) Jest każde rozwiązanie dopusz\ H takie u U zbiorze rozwiązań dopuszczalnych nie możną znaleźć rozwiązania]

dominującego (a więc rozwiązania „lepszego" od niego). W przypadku minimalizacji wszystkich kryteriów mówmy, że rozwiązanie x, dominuje rozwiązanie x₂ (a więc jest „lepsze") wtedy, gdy dla każdego kryterium zachodzi

ifr&iI = 1,(1-11)

przy czym przynajmniej jedna nierówność (1.11) jest ostra.

Nie istnieje więc w zbiorze rozwiązań poprawnych rozwiązanie, dla którego wartość wszystkich kryteriów byłaby „lepsza" od dowolnego innego rozwiązania polioptymalnego.

Definicja Pareto jest matematycznym zapisem drugiej ogólnej zasady konstrukcji przy Wielu kryteriach.

W celu graficznego zilustrowania problemu polioptymalizacji i poszukiwania punktu polioptymalnego przeanalizujemy przykład, w którym przestrzeń kryterialna (celów) jest dwuwymiarowa, a więc jakość rozwiązania określona jest za pomocą dwu liczb. Występują dwa wskaźniki jakości: q_t i q₂. Niech q_x oznacza koszt wykonania konstrukcji, a q₂ masę konstrukcji. Przebadano pięć dopuszczalnych rozwiązań konstrukcyjnych x_l,...,x_s i uzyskano dla każdego rozwiązania odpowiednie wartości wskaźników jakości- W przestrzeni celów otrzymano odpowiadający

im zbiór pięciu punktów a,.....a_s. Zbiór ten przedstawiono na rys. 1.16. Poliop-

tymalnymi wartościami w zbiorze celów osiągalnych są o, oraz a_s (gdyż nie ma rozwiązań „lepszych” od nich). Rozwiązaniami polioptymalnymi są więc konstrukcje określone przez wektory zmiennych decyzyjnych .v, i x_i.

	I		a, 1 * |	2*
			mmm	i .__•_.... _
Ryś, 1.16. Przykład ilustrujący-zadanie polioptymalizacji				%
			a	"

Gdyby w analizowanym przykładzie zbiór dopuszczalny składał się nie | pięciu rozwiązań, ale był ciągły i był podzbiorem R", wówczas zbiór stanów osiągalnych byłby również ciągły i byłby podzbiorem R¹ (dwa kryteria jakości), W wyniku analizy zbioru stanów osiągalnych można otrzymać nie dwu punkty polioptymalne, ale całą krzywą stanów polioptymalnych, co przedstawiono na rys. 1.17. Krzywej stanów polioptymalnych w zbiorze stanów osiągalnych odpowiada //-wymiarowy zbiór rozwiązań polioptymalnych w zbiorze dopuszczalnym. Często krzywą stanów polioptymalnych nazywa się krzywą rozwiązali polt-optymalnych.