ScanImage13

s 2. Różniczkowanie

26

i musimy pokazać, że

s 2. Różniczkowanie

26

Mamy więc

lim

x-+a

\x-a\

i

Pix) = 8(f (x)) - g(b)- _M(x_(x _ _a)) _

g{f W) g(b) — /^(/(x) - f(_a) - cp(x)) = na mocy (1)

⁼ k(fW) - 8(b) - ,*(/(,) - /_(a))] + ^j) =

= Hf(x)) + lĄ<p(x))    _{na mocy} (₂).

Tak więc musimy dowieść

(6)		limhK/w)i *-+a \x—a\
(7)	-	lim _0 ^x-*a \x — a 1

Równanie (7) łatwo wynika z równania (4) i zadania 1.10. Jeżeli e > 0, to z równania (5) wynika, że dla pewnej liczby 5 > 0 mamy

l^(/(*))l < e| f(x) - b\,    jeżeli \f{x) - b\ < 8,

co jest prawdą, jeżeli \x — a\ < <5j dla odpowiedniej liczby 5j. Wówcżas

l^(/(^Jt))l < ^£l f(x) — b\ = e\cp(x) + \{x — a)|,< e\ę(x)\ + sM\x — a\

dla pewnego M, na mocy zadania 1.10. Stąd już łatwo wynika równanie (6). ■

2.3. TWIERDZENIE. (1) Jeżeli f: M" —> W" jest funkcją stałą (to znaczy jeżeli dla pewnego y e R^m mamy f(x) = y dla wszystkich x e R"), to

Df(a) = 0.

(2) Jeżeli f: M" —»■ R^m jest odwzorowaniem liniowym, to

,    Df (a) = f.

i

(3)    Jeżeli    R^m, to f jest różniczkowalna w a e R" wtedy i tylko wtedy,

gdy każda /' jest różniczkowalna w punkcie a i

Df (a) — (Df^x(a),..., Df^m(af).

Tak więc f'(a) jest macierzą (m x nj, której i-tym wierszem jest (f^l)'(a).

(4)    Jeżeli zdefiniujemy s: IR² —-> R jako s(x, y) = x + y, to

Ds(a, b) = s. *

(5f Jeżeli zdefiniujemy p: R² —> R jako p(x, y) = x ■ y, to Dp(a, b)(x, y) = bx + ay.

Tak więc p'(a, b) = (b, a).

.......... -----— ---------_____Podstawowe twierdzenia >

" ' 1

Dowód. (1) lim 1^+ h) - f(a) - 0[    ,_v _ _{v ni}

,    =o.

(2, u*    ₌ Um j^)_+/(i)-_/w _ _/(ł)l

1*1    -jrj—-— = o.

(3) Jeżeli każda /■ j_{est ró}i_niczkowalna w a i

to

X = (Df^l(a),...,Df^_{a)y

f(“+h)~f{a)~_{Hh) =}

(/ (a + h) - / (_a) _ Df^l(a)(h),f^m(_a + /,) + f^m(a) - Df^m(a)(hj).

Dlatego

lim L^±^W(a) - X(A)|

h-*0

\h\

< Um f" 1^L⁺ *) - /'(^Q) ~ Df‘(a)(.h)\ _

1*|

_w a na ml!    J^eżeli / jest różniczkowalna w a, to /' = n‘o f jest róiniczkowalna

w a na mocy punktu (2) i twierdzenia 2.2.

(4)    Wynika z (2).

(5)    Niech A.(x, y) ₌ bx + ay. Wtedy

lim lp(a + h, b + k) - p(a, b) - X(h, k)\    \hk\

!(*,*)!

(*. *>—o !(*,*))

(/i,i)->o    171 im    “    — lim

Ale

|_fcjfc| < [ l*l²’ -i^eżeli 1*1 < |*|,

l l*l², jeżeli |A| < |jfc|.

Stąd \hk\ < \h\² -)-|fc|²_ piątego

1**1 h² + k² r---

—--- = -»/ h^ -4- ^2

!(*.*)! “ VPTF ^{v +} ’

tak więc

|**|

lim ■... = 0.

(h,k)^-0 )(*, *))

2.4. WNIOSEK. Jeżeli f,g' Rⁿ —► M są różniczkowalne w a, to D(f+g)(a) = Df(a) + Dg(a),

D(f ■ £)(«) — g(a)Df(a) + f{a)Dg(a).

Jeśli ponadto g(a) ^ o, to

JL\_a) - 8(a)^Df(^a) - f(a)Dg(a) [g(a)f