368 2

368

8. Równania różniczkowe

(c) Pokazać, że ciąg ,/>•„}*= o spełnia warunek przyjęty w ekstrapolacji Aitkena. Obliczyć kilka elementów, zastosować ekstrapolację i porównać wynik z dokładny^* 5. (a) Równanie różnicowe

>'._+k + Oiy„ -1 + • • • + a_ky„=0

po podstawieniu yj=(yj, y_J+i.....y_>4t_,)^T można napisać w postaci y_m+_x~Ay_n. j_ak

wygląda macierz Al

(b) Równanie różniczkowe

y^w+Qiy^{k +<**>'= ⁰

„(k-lKT

y można napisać w postaci y' = Ay. Jak wygląda

po podstawieniu >'=(>,/... macierz Al

6. (a) Załóżmy, że ciąg wektorów {>•.}*= ₀ spełnia nierówność (8.5.17)    l|j’»+i||^ll^flJ’«ll ^{+ fc} (fl>0, b>0. n~0,1,...).

Pokazać, że

IWI«o'iWI+^^ («*D,

1 —a

IMNW! + nfr    («-!)■

Wl<*-

(b) Załóżmy, że ciąg wektorów spełnia związek rekurencyjny J,h i = A,P»+A. gdzie

Pokazać, że dla każdego n^0 jest

(c)    Załóżmy, że A jest macierzą redukowalną do postaci przekątniowej, o promieniu spektralnym nie większym od 1. Pokazać, że jeśli

y^i^-¥hB„)y_m (n=0, 1,...)

i jeśli ||i?„||_w < tfdla każdego w, to istnieją stałe K_x i K₂ takie, że ||y»|!« ^CXP WI*¹ dla każdego dodatniego «.    _+J

(d)    Zmodyfikować wynik z (a) dla przypadku, gdy w (8.5.17) b zmienia się na Uw'aga. Z (a) dla d=exp (Lh) wynika w^sja wektorowa twierdzenia 8.1 A ³ 1 '

ciekawy wariant tego twierdzenia.

m

y_m+5ym-1—