83046 img451 (2)

Powyższe rozważania skłaniają nas do dokładniejszego przyjrzenia się wyra/r niu typu ^^x<) t —li^x-ol _{t a} następnie jego granicy przy h dążącym do zera

DEFINICJA 1.

Niech funkcja / będzie określona w pewnym otoczeniu U(x₀) punktu x₀, natomiast h * 0 będzie liczbą, dla której x₀ + heU(x₀). Ilorazem różnicowym tej funkcji w punkcie x₀, odpowiadającym przyrostowi h argumentu nazywamy liczbę

/(Xq + /7)-/(Xq)

h

DEFINICJA 2.

Niech funkcja / będzie określona w pewnym otoczeniu U(x₀) punktu x₀, natomiast h O będzie liczbą, dla której x₀ + hsU(x₀). Jeśli istnieje (skończona) granica

_Hm /(xo + h)~ f(xo) h—>0    h

to granicę tę będziemy nazywać pochodną funkcji / w punkcie x₀ i oznaczać /' (x₀), a o funkcji / powiemy, że jest różniczkowalna w punkcie x₀. Jeśli zaś ta granica nie istnieje bądź jest niewłaściwa, to powiemy, że funkcja / nie jest różniczkowalna w punkcie x₀.

Krótko można więc zapisać:

/'(x₀) = lim

^J V U/    /7—>0

/(*O + ^) - /fa) h

(jeśli granica po prawej stronie istnieje) i powiedzieć, że pochodna funkcji w punkcie to liczba równa granicy ilorazu różnicowego funkcji / przy h dążącym do zera.

Za twórców rachunku różniczkowego i całkowego uważa się angielskiego fizyka i matematyka Izaaka Newtona 1642-1727 i niemieckiego filozofa i matematyka Gottfrieda Wilhelma Leibniza [wym. lajbnica] 1646-1716. Wyniki w tej dziedzinie osiągnęli różnymi metodami, niezależnie od siebie. Zasługą ich jest m.in. podanie podstawowych definicji, własności pochodnych i całek, a także wskazanie zastosowań rachunku do różnych zagadnień matematyki i fizyki. Odkrycie rachunku różniczkowego i całkowego doprowadziło do powstania nowego działu matematyki - analizy matematycznej.

P W pniltęc /nikach matematyki, a także w wielu podręcznikach z nauk przyrod-1 flli #yi h, można spotkać jeszcze inne oznaczenie dla pochodnej funkcji / w punkcie x₀, a mianowicie:

^f//M

ax

lub

d£_

dx

x = x₀

Pimlęt.isz, że granica funkcji w punkcie x₀ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy ist-|||r|>t |odnostronne granice tej funkcji w tym punkcie i są one równe. W związku ł tym warto wprowadzić następującą definicję.

INICJA 3.

lich funkcja / będzie określona w pewnym prawostronnym otoczeniu >(#o). natomiast h > O będzie liczbą, dla której x₀ + h e U₊(x₀). Jeśli istnie-(•kończona) granica

lim ,

0⁺

f(xO + />) - /(x₀)

granicę tę będziemy nazywać pochodną prawostronną funkcji / w punk-

lll x₀ i oznaczać /'+(x₀).

Armlogicznie można wprowadzić definicję pochodnej lewostronnej, którą bę-(l/lrmy oznaczać /'_(x₀).

Można sformułować następujący wniosek.

miDsn

f unkcja / określona w pewnym otoczeniu punktu x₀ jest różniczkowalna w tym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją pochodne jednostronne f'₊{x₀) I /' (x₀) oraz zachodzi równość: f'₊{x₀) = /'_(x₀). Wtedy oczywiście /'(x₀) =

* f\(*o) = /'-(x₀).

Omówimy teraz zastosowania powyższych pojęć w zadaniach.

CRZYKtAO 2.

/badajmy różniczkowalność funkcji / w punkcie x₀, jeśli: a) /(x) = x² + 3x - 2, x₀ = 1;

^xo--1!

(x + 1 )³ dla x < -1

b)/(x) = \

[4(x + 1)² dlax>-1