wyklad23, Wykład 23


Wykład 23

  1. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

    1. Indukcyjność

      1. Transformator

Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to prąd zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.

N1 - liczba zwojów w cewce pierwotnej, N2 - liczba zwojów w cewce wtórnej

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic

Stosunek napięć

0x01 graphic

(23.1)

Widać, że regulując ilość zwojów w cewkach możemy zamieniać małe napięcia na duże i odwrotnie.

Przykład 1:

Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10 Ω przesyłanej z generatora 10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·104 oraz 105 V.

P = IU

Pstrat = I2 R = (P/U)2 R

Pstrat1 = 4.4 MW (44%)

Pstrat2 = 0.1 MW (1%)

      1. Indukcyjność własna

Gdy natężenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się też strumień przez każdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukuje się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy siłą elektromotoryczną samoindukcji.

0x01 graphic

(23.2)

Wielkość Nφ jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę strumienia skojarzonego. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę.

Nφ = LI

(23.3)

Stała proporcjonalności

L = Nφ/I

(23.4)

nazywana jest indukcyjnością.

Zróżniczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

(23.5)

Jednostką L jest henr. 1 H = 1 Vs/A

Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l0 i N zwojach.

Strumień przez każdy zwój wynosi

φ = BS

gdzie B dla cewki wynosi

B = μ0nI = μ0I(N/l0)

Zatem

0x01 graphic

Indukcyjność L otrzymujemy mnożąc strumień przez N/I.

0x01 graphic

(23.6)

Zauważmy, że L zależy tylko od geometrii.

      1. Indukcja wzajemna

Omawiając transformator pokazywaliśmy, że dwie cewki mogą oddziaływać na siebie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przechodzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.

N2φ21 = M21I1

Stałą proporcjonalności M21 nazywamy indukcją wzajemną.

Różniczkując to równanie otrzymujemy

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

Jeżeli zmieniamy prąd I2 to analogicznie

0x01 graphic

Można pokazać (ale w skomplikowany sposób), że

M12 = M21 = M

Podobnie jak L tak samo M zależy tylko od geometrii układu.

    1. Obwody RC i RL, stałe czasowe

Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.

      1. Obwód RC

0x08 graphic
Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozycji (a).

Korzystamy z prawa Kirchoffa.

0x01 graphic

(23.7)

W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale możemy skorzystać ze związku I = dq/dt. Otrzymujemy równanie różniczkowe

0x01 graphic

Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać

0x01 graphic

(23.8)

Możemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania różniczkowego poprzez jej podstawienie.

Prąd obliczamy różniczkując dq/dt

0x01 graphic

0x08 graphic
Rysunki przedstawiają zależność q(t) oraz I(t).

Jeżeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać kondensator. Teraz w obwodzie nie ma ε i prawo Kirchoffa przyjmuje postać

0x01 graphic
czyli 0x01 graphic

Rozwiązanie ma postać

0x01 graphic

(23.9)

gdzie q0 jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.

Natężenie prądu przy rozładowaniu wynosi

0x01 graphic

W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość RC ma wymiar czasu i jest nazywana stałą czasową obwodu. Opisuje ona fakt, że ładunek na kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliża się do niej wykładniczo. Podobnie przy rozładowaniu.

      1. Obwód RL

Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie RL przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.

Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość ε/R. Dzięki cewce w obwodzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji εL, która zgodnie z regułą Lenza przeciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do ε.

0x08 graphic
Z prawa Kirchoffa otrzymujemy

0x01 graphic

(23.10)

Poszukujemy rozwiązania tego równania różniczkowego w postaci I(t).

Ma ono postać

0x01 graphic

(23.11)

0x08 graphic
Sprawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokazane jest na rysunkach poniżej.

Narastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową τL = L/R.

Jeżeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i otrzymamy

0x01 graphic

(23.12)

z rozwiązaniem

0x01 graphic

(23.12)

    1. Energia a pole magnetyczne

Pozostańmy przy obwodzie RL. Z prawa Kirchoffa otrzymaliśmy

0x01 graphic

Mnożąc to równanie przez I dostajemy

0x01 graphic

Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest następująca:

To ostatnie możemy zapisać jako

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic

Po scałkowaniu otrzymujemy

0x01 graphic

(23.13)

Równanie określa całkowitą energię magnetyczną zawartą w cewce o indukcyjności L przez, którą płynie prąd I.

Porównajmy to z energią naładowanego kondensatora

0x01 graphic

(23.14)

    1. Gęstość energii a pole magnetyczne

Rozpatrzmy solenoid o długości l i powierzchni przekroju S czyli o objętości lS.

Tak więc gęstość energii

0x01 graphic

Ponieważ

0x01 graphic

więc

0x01 graphic

Przypomnijmy, że

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

co w połączeniu daje wyrażenie

0x01 graphic

(23.15)

opisujące gęstość energii zawartej w każdym punkcie przestrzeni w której jest indukcja magnetyczna B.

Przykład 2:

0x08 graphic
Długi koncentryczny kabel składa się z cylindrycznych przewodników o promieniach b. Obliczmy energię zawartą w polu magnetycznym kabla na odcinku o długości l0 oraz jego indukcyjność.

Stosując prawo Ampera dla przestrzeni pomiędzy cylindrami otrzymamy

0x01 graphic

czyli

0x01 graphic

Gęstość energii w punktach pomiędzy przewodami

0x01 graphic

Rozpatrzmy teraz cienką (dr) warstewkę pomiędzy cylindrami. Objętość tej warstewki wynosi:

dV = 2πrdrl0

dla odcinka kabla o długości l0.

Energia w tej objętości wynosi więc

0x01 graphic

Sumując (całkując) po całej objętości obliczamy całkowitą energię W

0x01 graphic

Indukcyjność znajdziemy z zależności

0x01 graphic
czyli 0x01 graphic

0x01 graphic

L zależy tylko od czynników geometrycznych.

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

23-8

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fundusze inwestycyjne i emerytalne wykład 6 23 03 2015
KPC Wykład (4) 23 10 2012
wykład 4 - 23.10.2008, FARMACJA, ROK 5, TPL 3, Zachomikowane
ogólne - wykład 3 - 23.10.2012, Językoznawstwo ogólne, Językoznawstwo ogólne - wykład
wykład 23.11.2008, SZKOŁA, SZKOŁA, PRACA LICENCJACKA, notatki, wykład
Młoda Polska WYKŁAD (23 04 2014)
Z Wykład 23.02.2008, Zajęcia, II semestr 2008, Analiza matematyczna
Wyklad 7 (23 11 11)
PATOMORFOLOGIA wykład 23, PATOMORFOLOGIA wykład 23 (2 IV 01)
wykład I 23-02-2011, rachunkowowsc finansowa
wykład 7- 23.05, WSA, konstytucyjny system organów państwowych, wykłady
NLPZ wykład z 23 03 2004
OiS Wykład 4 (23 10 2014)
GLEBOZNAWSTWO - wykład 7 - 23.11.2009r, OGRODNICTWO UP LUBLIN, GLEBOZNAWSTWO, wykłady
Inne - prawo gosp, PG06, Wykład 6 23
LOGISTYKA W23, Wykład 23 2001-04-23
wyklad 23 toksycznosc tworzyw sztucznych

więcej podobnych podstron