I. Zagadnienia teoretyczne
Ruch harmoniczny - są to drgania oscylatora harmonicznego.
Oscylator harmoniczny - Jest to ruch periodyczny spełniający warunki:
Siła działająca na oscylator jest proporcjonalna do wychylenia oscylatora
Częstość ruchu nie zależy od amplitudy drgań
Jeżeli działa wiele sił, to zmiany wywołane sumują się liniowo
Ruch prosty - ruch oscylatora harmonicznego na który nie działają siły tarcia ani siły wymuszające tzn. oscylator porusza się swobodnie. Ruch prosty spełnia równanie
gdzie x to położenie oscylatora, częstość kątowa oscylatora. Rozwiązaniem tego równania jest
gdzie to amplituda drgań.
Ruch tłumiony - ruch uwzględniający tarcie. Jego równanie wygląda
gdzie założyliśmy, że siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości oscylatora oraz to stała tłumienia i człon z nią związany jest odpowiedzialny za tarcie. Rozwiązaniem tego równania jest
Graniczny przypadek słabego tłumienia wówczas wynik się upraszcza do
gdzie jest częstością własną drgań nietłumionych.
Drgania wymuszone - drgania oscylatora z działającą na niego siłą wymuszającą. Równanie ruchu dla tego oscylatora wygląda
gdzie siła wymuszająca jest postaci , gdzie jest częstością siły wymuszającej, a amplitudą siły wymuszającej oraz M jest masą oscylatora (lub ogólniej jego momentem bezwładności). Rozwiązaniem równania tego jest
gdzie
oraz
(1)
Zależność amplitudy drgań wymuszonych od częstości siły wymuszającej prowadzi do tego, że przy pewnej określonej dla danego układu częstości drgań osiąga maksimum nawet przy niewielkiej sile wymuszającej. Zjawisko to nazywamy rezonansem mechanicznym, a odpowiednią częstość - częstością rezonansową. Warunek rezonansu jest spełniony gdy
(2)
Wykres przedstawiający zależność amplitudy drgań wymuszonych od częstości siły wymuszającej nazywamy krzywą rezonansową. Szerokość krzywej zależy od tłumienia drgań. Parametrem charakteryzującym tę szerokość jest dobroć Q układu rezonansowego, która zdefiniowana jest jako stosunek energii nagromadzonej w rezonatorze do energii utraconej w jednym okresie drgań. Związek między krzywą rezonansową a dobrocią ustala wzór
gdzie oznacza całkowitą szerokość krzywej rezonansu w połowie wysokości krzywej przedstawionej w układzie .
II. Część doświadczalna
Układ pomiarowy składał się z wahadła oraz podłączonego do niego urządzenia, które miało możliwość symulowania działania siły wymuszającej. Na panelu urządzenia można było odczytać ilość drgań siły wymuszającej oraz czas w jakim one zaszły.
Wykonanie pomiarów.
1. Wyznaczaliśmy częstość własną układu. Zmierzyliśmy czas 100 wahnięć. Błąd wyznaczenia czasu obraliśmy Δt=0.5 s (czas ten był mierzony stoperem, ale wzięliśmy pod uwagę opóźnienie reakcji człowieka). Z różniczki zupełnej obliczyliśmy błąd wyznaczenia częstości własnej układu.
2. Wyznaczaliśmy amplitudę drgań dla kolejnych pięciu częstości siły wymuszającej w otoczeniu częstości własnej układu. Podczas pomiaru nastąpiła awaria układu pomiarowego uniemożliwiając dalsze przeprowadzenie doświadczenia.
Częstości siły wymuszającej zostały wyznaczone ze wzoru
gdzie k to liczba wahań w czasie T. Ponieważ bezpośrednio mierzone były (dla siły wymuszającej): liczba wahań i czas w jakim one zaszły. Błąd wyznaczenia czasu jest równy ΔT=0.001s. W tabeli na stronie nr 1 zostały umieszczone pomiary oraz ich błędy.
Ponieważ ze wzoru (1) wynika
czyli oznaczając
Wobec tego, że znamy po pięć wartości x i y możemy wyznaczyć prostą najlepiej dopasowaną do par punktów. Za pomocą wzorów do aproksymacji prostej wyznaczyłem a i b oraz ich błędy
Wobec tego
Ponieważ masa oscylatora-wahadła była równa 0.2kg (zaniedbujemy tu masę pręta) możemy wyznaczyć siłę wymuszającą równą
Ponieważ
Wobec tego
Spróbujmy wyznaczyć Q graficzne. Na wykresie oznaczone są punkty pomiarowe oraz środek piku. Jest on wyznaczony z bardzo dużym błędem, który wynika z małej ilości danych pomiarowych. Przyjmujemy, że środek piku jest na wysokości punktu o największej zmierzonej amplitudzie. Zmierzona szerokość piku wynosi
Trudno określić błąd, ale spróbowałem go oszacować za pomocą wykresu (na wykresie reprezentuje go odcinek). Wobec tego Q wynosi
Tak duża rozbieżność wynika z małej ilości danych oraz z niedokładnego wyznaczenia wysokości piku rezonansu, a co za tym idzie i jego szerokości oraz Q. Trudno porównywać otrzymane wyniki gdyż ich wiarygodność jest zbyt mała oraz są zbyt rozbieżne.