10871 str267

§ I. POJĘCIE TENSORA 267

Definicja 4. Tensorem kontrawariantnym rzędu M nazywamy zbiór wielkości T^k,k2"^kM, jeżeli podczas zamiany współrzędnych wielkości te transformują się zgodnie z równaniem

§ I. POJĘCIE TENSORA 267

(1.6)

dx^,k'

a?⁷

dx^k2

5^

dx^,kM 8x^sM ’

przy czym T^klkl"^kM jest tensorem w układzie współrzędnych *^r, natomiast T^,k'^kl "^kM jest tym samym tensorem w układzie x".

W szczególnym przypadku dla M — 1 mamy do czynienia z tensorem kontrawariantnym rzędu pierwszego Tⁿ zwanym często, wektorem kontrawariantnym.

Definicja 4'. Tensorem kontrawariantnym rzędu pierwszego nazywamy zbiór wielkości Tⁿ, jeżeli podczas zamiany współrzędnych wielkości te transformują się zgodnie z równaniem

dx’ⁿ

(1.7)    ^r"^=zTk~ex^k'

7jz związku (1.5) wnioskujemy, że zbiór różniczek dx^r jest wektorem kontrawariantnym, podczas gdy zbiór współrzędnych x^k nie jest tensorem. Zbiór współrzędnych x^k przy przejściu do innego układu współrzędnych przekształca się bowiem według zależności (1.2), a nie według zależności (1.5).

Definicja 5. Niezmiennikiem nazywamy wielkość, której wartość jest niezależna od przyjętego układu współrzędnych.

Niezmiennik uważamy za tensor rzędu zerowego o jednej składowej, a zatem

(i.8)    r = r.

Definicja 6. Tensorem kowariantnym rzędu M nazywamy zbiór wielkości T_klk2^_kM, jeżeli podczas zamiany współrzędnych wielkości te transformują się zgodnie z równaniem

(1.9)

- ^TS%2...S

dx^!“ cx^S2

^r5jc^’ax^'

dx*^M dx^,kM ’

gdzie T_klkl kM jest tensorem w układzie współrzędnych x^r, natomiast T_klkl kM jest tym samym tensorem w układzie x".

W szczególnym przypadku dla M = 1 mamy do czynienia z tensorem kowariantnym rzędu pierwszego T„, zwanym często wektorem kowariantnym.

Definicja 6'. Tensorem kowariantnym rzędu pierwszego nazywamy zbiór wielkości T„, jeżeli przy przejściu od współrzędnych x^r do współrzędnych x" wielkości T„ transformują się zgodnie z równaniem

(1.10)

TL

dx^k

^Tkdć"'