31808 MATEMATYKA025

42 I. Wiadomości wstępne

Funkcja y = tgx,    jest funkcją rosnącą (zatem

równowartościową), a więc istnieje funkcja odwrotna do niej. Oznaczamy ją symbolem arclg Funkcje

y = tgx, x €(-*,*),    y€(-oo,+oo),

y = arctgx, x e(~a>,+oc), ye(-*,*)

są więc funkcjami odwrotnymi do siebie, a ich wykresy są symetryczne do siebie względem prostej y = x (rys 3.21). Ponieważ

(y = arctgx) o (x = tgy a y e(-|,-|)).

więc

arctgl - j , gdyż Ig ^ = 1 oraz

arctg>/3 = |, gdyż tg j = V3 oraz ~ e(-

Funkcja y = aretg x jest funkcją nieparzystą, to znaczy

arctg(-x) = -arctgx dla x € R .

Analogicznie funkcje

y = ctgx , xe(O_tn), y€(-oo,+x), y = arcctgx, x e(-oo,+oo), ye(0,7t) są funkcjami odwrotnymi do siebie, a ich wykresy są symetryczne do siebie względem prostej y = x (rys 3 22).

Rys 3.21

Rys 3.22

Ponieważ (zgodnie z definicją funkcji odwrotnej)

(y = arcctgx) <=> (x = ctgy a y€(0,rc)),

więc

arcctgO = ~,    gdyż ctg-£=0 oraz ~e(0,,n),

arcctg(-l) = “, gdyż ctg^ = -l oraz ~^e(0,k,).

Niektóre związki między funkcjami cyklometrycznymi:

1)    aresm x h arccosx = ^, xec-lj>_t

2)    arctgx+arcctgx-y, x e(-x,+oo),

3)    aresin x = arccosVł - x², x €< 0,1 >,

4) aresin x = arccoW 1 - x^:,    xec-l,0>.

?) arctgx = arcctg—,

X

6) arctgx = arccos-

1

x e(0,+x).

x e(0,+qo).

ROZKI.AD FUNKCJI WYMIERNEJ NA UŁAMKI PROSTE. Na przykładach pokażemy, w jaki sposób funkcję wymierną właściwą rozkładamy na ułamki proste.

PRZYKŁAD 3.4. Rozłożymy na ułamki proste funkcje:

5 2x ____, 2x i 3

a) R(x) -

X + X 2

b) R(x) =

x⁴-x'-t 3x²'

a) Funkcja R(x) jest funkcją wymierną właściwą, gdyż stopień licznika jest niższy niż stopień mianownika Mianownik rozkładamy na czynniki : x² + x 2 = (x - l)(x + 2). Funkcja R(x) jest sumą ułamków prostych, których mianownikami są (x-1) oraz (x + 2) ;

R(x)-

5-2x

A B

+

(x-l)(x + 2) x-l x + 2