45222 PC043407

1

BHEii:. _■___

B Uwaga 1.37. Dla x.y* !R prawdziwe są następujące zależności:

a)    sin²* + cos‘* = 1,

b) tg* =    gdzie **■£ + ** dla /tg Z,

c)    ctg x - |5j~k gdzie x * ku dla £e Z,

° sra x °

d)    sin 2x - 2 sin* cos*,

e)    cos2* = cos²*-sin²* = l-2sin²* = 2eos * — 1,

x±y^,x^y

-cos

2

*—y

f) sin* ± sin y= 2sin

■nHis    .    *+y

g) cosx + cos y = 2cos-—cos

h) cos* - cos y = —2sin -

-sin

*+y . *-y

__cin_ 2 2

Podstawowe równania trygonometryczne

Definicja 1.83. Równaniem trygonometrycznym nazywamy równam, w którym niewiadoma występuje tylko pod znakiem funkcji trygonoae-trycznych.

W związku z okresowością funkcji trygonometrycznych zbiór rozwiązał równania trygonometrycznego jest nieskończony lub pusty.

W wielu przypadkach równanie trygonometryczne można sprowadzi! równania (lub równań) postaci sin* - a, cos* = a, tg* = a oraz ctg*=o. 'Ą Rozwiązywanie tych równań polega na wyznaczeniu jednego rozwiązań, Następnie, wykorzystując okresowość funkcji trygonometrycznych, generuje^ pozostałe rozwiązania zgodnie z poniższymi zasadami.

a) Jeżeli *₀ jest jednym z rozwiązań równania sin* = a, gdzie -1 < a < 1, to ogólne rozwiązanie ma postać: * = *₀ + 2 kn v * - (n - *₀) + 2 ku dla ke l.

Przykład 1.108

Zauważmy, że jednym z rozwiązań równania sin* = \ jest liczba *₀=f (bo sin-Ł = ). Na tej podstawie otrzymujemy wszystkie rozwiązania w jednej z postaci * = •*■ +2kn v x = (n-^J~) + 2kn = ^n + 2kn dlake Z.

Przykład 1.109

Równanie sin* = 1 ma jedną „serię” rozwiązań postaci x = ljr + 2kn dla /cel

b) Jeżeli jest jednym z rozwiązań równania cos x = a, gdzie -1 < <j s 1, to ogólne rozwiązanie ma postać* =x₀ + 2fcitv**=-*₀ + 2/cndlak e /.

Przykład 1.110

Jednyrft z rozwiązań równania cos* jest liczba x₀ Na tej podstawie otrzymujemy wszystkie rozwiązania danego równania: x==--|ic+2fcic v x *-Lu + 2fcit

dlafcę Z.

Przykład 1.111

Równanie cos* = 1 ma jedną „serię” rozwiązań postaci x = 2kn dla fc«= T.

c)    Jeżeli *o jest jednym z rozwiązań równania tg x = a, gdzie a t R. to ogólne rozwiązanie ma postaćx = %₀ + kn dla fce Z.

Przykład 1.112

Zauważmy, że jednym z rozwiązań równania tg*=1 jest *o = 4". Na tej podstawie otrzymujemy wszystkie rozwiązania postaci * = -f-+kn dla ke Z.

d)    Jeżeli x₀ jest jednym z rozwiązań równania ctg* = a, gdzie ae R. to ogólne rozwiązanie ma postać *=*₀ + kn dla ke Z.

Przykład 1.113

Zauważmy, że jednym z rozwiązań równania ctgx=-V3 jest x₀ =~f- Stąd otrzymujemy rozwiązanie * = -•f+kit dla ke Z.

Nierówności trygonometryczne rozwiązujemy, wyznaczając rozwiązania odpowiadających im równań, a następnie szkicując wykres odpowiedniej funkcji trygonometrycznej. Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

1.6.9. Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych zacieśnionych do przedziałów, w których funkcje te są różnowartościowe.

a) Funkcją odwrotną do funkcji *=siny jest funkcjay=arcsin* (arcus sinus*), gdzie y jest miarą lukową kąta z przedziału [""?•>?], którego sinus równa się*, tzn.: