80749 spektroskopia012

24

gdzie hco_cv = E_c{k)-E_v{k).

Znając e₂(co), możemy wyznaczyć a(co) = e₂—.

Łączna gęstość stanów i osobliwości van Hove’a

Jak już wspomniano wcześniej, element macierzowy |P_0C|² dla danej pary pasm jest wolnozmienną funkcją k i można go przyjąć za stały. Sumowanie funkcji <5 można zastąpić całkowaniem po powierzchni o stałej energii

^5(E_c(k)-E_v(k)-hcD)^—s

' dS

|V*(JU

(3.23)

gdzie E_cv = £_c(k)—E„(k), S — powierzchnia o stałej energii E_eu(k) = hco (założono, że zarówno pasmo przewodnictwa, jak i walencyjne są dwukrotnie zdegenerowane ze względu na spin; nie jest to słuszne dla kryształów o symetrii blendy cynkowej oraz tych o niższej symetrii).

Wyrażenie

•UM =

1	r ds
47T^3>	V*[£e(k) —E„(k)]

(3.24)

nazywamy funkcją łącznej gęstości stanów.

Osobliwości tej funkcji pojawiające się dla V_l(£_f„) = 0 noszą nazwę osobliwości van Hove’a, a punkty, w których one występują nazywamy punktami krytycznymi. Możemy wyróżnić osobliwości I rodzaju, gdy

V*E_c(k) = V_iE„(k) = 0,    (3.25)

które występują w punktach strefy Brillouina o najwyższej symetrii, i II rodzaju, gdy

V_tE_e(k)=V*E_w(k)^0.    (3.26)

Przebieg funkcji J_ev(hco) staje się lepiej widoczny, jeżeli zależność E_c(k)—E_v(k) rozłożymy w szereg Taylora wokół punktu krytycznego k₀, któremu odpowiada odstęp energetyczny £_c(k₀)—£„(k₀) = E₀. Zaniedbując wyrazy wyższych rzędów, otrzymujemy

E_c(k)-E„(k) = E₀ + ^    k₀)².    (3.27)

1=1

W zależności od znaku współczynników a, możemy otrzymać cztery rodzaje punktów krytycznych. Można pokazać, że w pobliżu punktu krytycznego o energii E_Q jest spełniona zależność

B₂(a)~H^r+1\hco-E₀)^li²,    (3.28)

gdzie r jest indeksem punktu krytycznego M_r.

Rys. 6. Schematyczna zależność e₂(co) w pobliżu osobliwości Van Hove’a, tzn. międzypasmowych punktów krytycznych dla przypadku jedno- (ID), dwu- (2D)

i trójwymiarowego (3D)

Ponieważ przebieg funkcji J^ pokazuje zależność e₂(cj), możemy również mówić o osobliwościach tej ostatniej.