CCF20121001005

Granice niewłaściwe

Definicja:    limfl„=-®o A V A a_n<M

n—><x>    MeR n>ng

Poniżej każdej liczby rzeczywistej znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu.

Definicja:    lima„=+co O A V A a_n> M

n—>oo    MeR «o «>«o

Powyżej każdej liczby rzeczywistej znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu.

31

> lim{a_n+b_n) = +co lim a_n = -co a lim b_n = -oo U_m (a_n +b_n) = -oo

>CO    77—>CO    77—>O0

//w a„ = -oo a lim b_n = +oo c[> Hm (a„ -b_n)= -co

►2—>00    /?—>00    ^ >00

lima„=±ooA lim = ±x gjfe, lim(a„6„) = +oo

17—>00    77—>00    72—>00

lima „=+co a lim b„ = ±oo eA *'^m (^aiA) ^{= -c0}

lim a_n=+oo a lim b_n = +co

Yl—>00    77—>00

Symbole nieoznaczone:

+ 00 - (+00 )    0 X (± 00 )

± oo ± oo

Działania na granicach niewłaściwych

lim a_n= a a lim b_n = +x>

»co _n_ >oo

lim (a„ +b_n)= +co lim (a„ -b_n)= -oo

n—>oo    77—>co

lim (a_nb_n)

W->00

lim

n—>co

AA

lim

n-» oo

J+oo gafy a>0 \-oo g</p a<0

J+co gafy a>0 [-oo gafy a<0

= 0

gafy a * 0

GRANICA FUNKCJI W PUNKCIE

Niech/ będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie S punktu jc₀. Def. (Heinego): Liczba g jest granicą funkcji/!*) w punkcie*₀, co zapisujemy g = lim ,/(*) o

Ą ( lim *„ = ;*(, => lim /(*„) = g ]

{*„} V«-xo    n-*»    /

x_neS

r

o'

o'

Def. (Cauchy’ego): Liczba g jest granicą funkcji w punkcie
;t0, co zapisujemy	g = lim j \x) wtedy i tylko wtedy gdy
A V	A	f(x)-g<£
£>0 S>0 g+e m^g	xeS(.\(, ,S
g-B
	*o-5^	x0 *0+8
Uwaga: Obie definicje granicy funkcji w punkcie są
równoważne.		35

Granice jednostronne funkcji w punkcie

lim f(x)    \ lim J'{x)

X->.rj    V*“^>r9

Granice niewłaściwe funkcji w punkcie

lim /(*) = + co    ( lim f(x)=-co

X->X₀    ^*“>*0

Granice funkcji w nieskończoności

lim f(x) =

+ 00

v-°A

lim f(x) =

g

+ 00