s50 51

Wyznaczmy drugą pochodną

Wyznaczmy drugą pochodną

// o

y = ²

(32x³ 4- 4x)(l 4- 4x²) — 8x(8x⁴ -f 2x² — 1)

(1 + 4x²)²

8x

—--—^-j[16x⁴ 4- 8x^L 4- 3].

(1 4- 4x²)^{2 L    J}

Obliczamy wartości y" w punktach x\ — - \ i x₂ = \ :

2/"(—) — — 6 < 0 => maksimum,

2/^r/(-) = 6 > 0 => minimum

Ponadto

7T

4

Vmax{ 2) 2/mfi? ( ^ )    ⁼

1

6’

7T    1

--4~ — •

4    6

4. Znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji y = x 4- na przedziale [1,6].

Funkcja y jest ciągła dla x £ [1,6], a więc osiąga wartość największą i najmniejszą na końcach przedziału lub w punktach, w których ma ekstremum. Obliczamy

,    64 x³ — 64

x

y ⁼ 1 —3 = ‘

x^ó

a więc y' — 0 dla x — 4. Stąd

62

¥

2/(6)

y( 1) = 33,    2/(4) - 6,

Odp.: Wartość najmniejsza: y{4) = 6, wartość największa: ?/(l) = 33.

5. Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji y — x³ — 6x².

Chcąc wyznaczyć punkty przegięcia, szukamy miejsc zerowych drugiej pochod nej

y — 3x² — 12x,

y" = 6x — 12.

Widzimy, że y" — O jedynie gdy x — 2.

Warunkiem dostatecznym na to, aby punkt P(xo, y(%o)) był punktem przegięcia krzywej o równaniu y = y{x), jest aby 2/"(x₀) = 0, oraz

yⁿ{x) < 0 dla x < x*o,    ?/"(x) > 0 dla £ > xo

lub

y"(x) > 0 dla x < xq,    ?/"(x) < 0 dla x > xo

dla każdego x z pewnego sąsiedztwa punktu xo.

W punkcie x = 2, druga pochodna zmienia znak bo: y" > 0 dla x > 2; ponadto y" < 0 dla X < 2, zatem P(2, —16) jest szukanym punktem przegięcia funkcji y.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

1.	y — 2x — x^2	2 .y	— x^3 — 3x + 5
•Ł	X	4. y	(x + 2)^2
• ) •	}J . 9 l + X^1		x^2 - 1
5.	y — x yj 2 — X^1	6.	ćP t CN i <N II
7.	V = e^hx	8. y	— (x^2 - 3)e^J‘
1).	y — cos x — x	10. y	— x|x|
W y z i raczyć ekstrema funkcj i:
1 1.	~3 ■^L 2 9 !/= o ^x 3x	12. y	x 2 2 x
13.	10	14. y	— x^2(l — x)
	V i i 2 1 + X^1
15.	y = e~^l + e~^	16. y	= x^2e~^x
17.	e^2x V = X	18. y	1 = xe*
19.	> — :n “ // = xe a	20. y	= x — 2 ln x
21.	// - x ln x	22. y	1 -f ln x
			X
23.	(ln x)^2V X	24. y:	X lnx
2 f>.	y In x — 2\nx	26. y	= 8 arctg x - ln(x