img129

129

8.3.    Wyznaczamy pierwsze pochodne częs*kowe funkcji f*

§7^ (x' - (i+2)xj⁺¹ - (i*2) dle i -

Wynika stęd, że Jedynym punktem stacjonarnym f Jest punkt P ■ (1,1,.. ...,l)£R°. Chcęc stwierdzić C2y funkcja f ma w punkcie P ekstremu* lokalne, wyznaczamy drugie pochodne cząstkowe

2 2

^4 (P) - (i*2)(i+l)xj,    (P) - 0 dla i,J « 1,2.....n

dx*    ¹ ox^<jXj

Druga różniczka d f(P) jest więc generowana przez macierz ' 3.2

4.3    0

o

(n+2).(n+l)

a stęd oraz z kryterium Sylve$tera otrzymujemy, że d²f(P$ Jest formę dodatnio określonę i z twierdzenia 8.4 wynika, że zadana funkcja f ma silne minimum lokalne w punkcie P « (l,l,...,l) równe

f(P) ■ n - (3+4 ♦ ...+ n^l) ■ n - ?⁴^*². n » -    £n² ♦ 3n)

8.4.    Ponieważ szukamy ekstremum funkcji f na zbiorze S, więc

2 2 2

z * 1 - x - y . Uwzględniając ostetnię równość w f, otrzymujemy funkcję dwóch zmiennycht

g:R²DK 3(x,y)-► a²x²+b²y²*c²(l-x²-y²)-[ax²+by²+c(l-x²-y²)]² ■

- (a²-c²)x²+(b²-c²)y²+c²-[fa-c)x²*(brc)y²+c]²

gdzie K « | (x,y)9 R²:x²+y² >1^ .Wyznaczenie ekstremum absolutnego funkcji f w zbiorze S zostało więc oprowadzone do zadaniat znaleźć maksimum i minimum funkcji g w zbiorze K.

Łatwy rachunek wskazuje, iż

§£ (x,y) = 2x(a-c) [(a+c)-2[(a-c)x²4(b-c)y²+c] ^

_#    §■*} (x,y) « 2y(b-c)£(b+c)-2[(a-c)x²+(b-c)y²*c]j

Przyrównujęc obie pochodne*częstkowe funkcji g do zera, otrzymujemy następujęce punkty stacjonarne:

A_x - (0.0). A₂ . (o.- |f2). A₃ - (0. 5-I2). A₄ - (- |l(2. 0).

a₅ -    0)