222 2

222

6. Równania nieliniowe

3,    Metodą Newtona wyznaczyć 7. czterema poprawnymi cyframi ułamkowymi od rera pierwiastek równanin x= l —e~²*.

4,    Metodą. Newtona wyznaczyć z pięcioma cyframi ułamkowymi pierwiastek =xćv.n~ nin a* łn x— 1 =0.

5,    Za pomocą metod itcracyjnyeh można obliczać także pierwiastki zespoloneiówk4« Metodą Newtona wyznaczyć pierwiastek równania 2--I 1=0. Zacząć od przy^Użeniń ^■=1 + 1

6.4. Metoda siecznych

6.4.1. Opis metody

Metodę siecznych można otrzymać z metody Newtona, aproksymująe pochodną f'(x_y) za pomocą ilorazu    ,)/(x„-ar,__x). gdzie /„ oznacza /(.v_fl). Powstaje wtedy nastę

pująca metoda. Dla danych przybliżeń początkowych .r_c i at, tworzy' się rekurencyjnic ciąg -t₅, je*,... z wżbru

(6.4.1)    *.ti    gdzie A„~

Geometrycznie rzecz biorąc, w tej metodzie jc_n+, wyznacza się jako odcięty psmkłu przecięcia siecznej przechodzącej przez punkty (*„_ , >/„_,} i (ar*,/_H) z osią Zauważ-my, że metoda siecznych, w przeciwieństwie do metody Newtona, wymaga dwóch przybliżeń początkowych, ale w każdym kroku oblicza się tylko jedną nową wartość funkcji

Przysiad 6.4.]. Niech będzie /(x)—f>tei x- ($x)^z, v_u = I. ję,=2. Chcemy znaleźć pięć cyfr ułamkowych pierwiastka a

n	A\|	/to)	x„-er.
0	1	0.59141	—0.93
I	2	-0.090703	0.066
*	1-86704	O.OS49SO	-0 067
3	1.93155	0.003177	-00024
4	1.95584	-0.0Ó9H4	0 00009
5	1.93375	0.000005
6	1.95375

W tym przykładzie metoda siecznych daje żądaną dokładność po tej samej liezbieMertfćjh jako była potrzebna w metodzie Newtona (zofc przykład 6 3.1). Jest tak dlatego, żś jedno z przybliżeń początkowych (x_t) było bardzo bliskie pierwiastka.

Jeśli    jest małe. to iłom? (x_n-.v_p_ i)!(j_n-/_D-_x) można na ogół

l niewielką dokładnością względną. Jeśli np. wybieramy przybliżenia >\ i x, bardzo bucz, to ze względu ha błędy zapłacenia \x₂~<x| może być dość duże. Z poniższej

j.