225 2

6A. Metoda siecznych

225

_n t>unkt jest używany w każdym przybliżeniu i związek (6.4.4) przybiera postać izs. ten

lun !^fL_C|_£o| = C'.

Ił-«D |S_B|

g, y7=l i mamy zbieżność liniową. Reguła falsi jest metodą dobrą „na starcie”, ale nic należy jej używać blisko pieiwiasika. Mcże ona jednak być częścią „hybrydowej" metody o dobrej zbieżności w pobliżu pierwiastka; zob. § 6.4.4.

6.4.4. Inae podobne metody

Metoda siecznych nie jest zbieżna kwadratowo. Co więcej, można wykazać, że przy bardzo słabych założeniach nie istnieje metoda iteracyjna rzędu drugiego używająca tylko jednej nowel wartości funkcji w każdym kroku. Natomiast metoda Stejfensena określona wzorem

/(*.)    . .    , , /(*.+/(*.))-/W

(6.4.5)    Xm+i^mx*-7ZTZ> *^dz,c

0(xj

/(*•)

a więc wymagająca obliczenia dwóch wartości funkcji /(*), ale nie korzystająca z jej pochodnych, ma wykładnik zbieżności równy 2. Ta meteda, ściśle związana z metodą siecznych, jest szczególnie ciekawa dla układów równań nieliniowych o wielu niewiadomych (zob. § 6.9.2).

Jeśli przyjmiemy, że fi„=f (xj i rozwiniemy g(x„) w szereg Taylora w otoczeniu punktu .x.,, to otrzymamy

A

gdzie A„ = - /{x_n)lf (*„) jest poprawką Newtona. Stąd

*■+! = *.+*.( 1 + ih J'\x J + O (£)).

Używając wyrażenia (6.3.2) dła błędu metody Newtona, możemy przekształcić tę równość

do

postaci

. i _ana

gdzie £_n=x„-a,

^skąd wynika, że

1 /"(«) 2 /'<ot)

(1+/*<»»•

Cynika

stąd, że wykładnik zbieżności metody Steffensena jest równy 2.

metodzie reguła lalsi w każdym k.oku jest «eint(x:„ x„'). Dla metody siecznych ¹; •elisnty w przykładzie 6.4.1, że błąd w kolejnych krokach zmieniał się tak, iż xe dla n = 0, 1,3.4,...,

y> że nie jest to przypadkowe. Załóżmy, żc x„ e (a, b) (n^O, 1,

z wyjątkiem co trzeciej wartości n. W.yka-.) i    if‘\x)

nomcr^cz_ne