241 (30)

464 Uzupełnienia

Podobnie, dla operacji i mamy

464 Uzupełnienia

i

-1 0    0'

0 -1    0

0 0 -1

(U 1.2)

Równie łatwo podać macierze przekształceń dla odbić w płaszczyznach. Odbicie w płaszczyźnie xy zmienia współrzędną z punktu na —z, nie zmieniając przy tym współrzędnych x, y. Odbicia w trzech płaszczyznach reprezentowane są przez następujące macierze:

&TZ

^axy

'-1 0 0' 0 1 0 0 0 1

‘1 0 0" 0-10 0 0 1

'1 o 0 1 o o

(U 1.3)

(U 1.4)

(01.5)

Macierze dla obrotów wokół kąta 19, gdy osią obrotu jest oś 2 wyprowadzimy poniżej. Podczas tego obrotu współrzędna z nie ulega zmianie, a współrzędne x, y ulegają zmianie, zgodnie z rysunkiem U 1.5.

(U 1.6)

gdzie

^f z' = z

x' — l cos (p' = l cos(<p — 9) = l cos p cos 0 + 1 sin p sin 0 —

(U 1.7)

(U 1.8)

—    x cos 0 + y sin 6

y' — l sin p' = l sin(ę? — 0) — l sin p cos 0 - l cos p sin 0 —

—    y cos 0 — 3.: sin 9 = —x sin 0 + y cos 6

czyli macierz przekształcenia dla obrotu C_z>e jest

^ f cos 9 sin 0 0 M(C_z 0) — — sin 6 cos0 0 0 0 1

Macierz przekształcenia dla obrotu C_z l ma postać

cos(—0)	sin(—0) 0		cos 0	— sin 0 0'
—■ sin(—0)	cos(-O) 0	-	sili 0	cos 0 0
0	0 1_		0	0 1_

(U 1.9)

Poniżej podajemy także cztery macierze reprezentujące operacje symetrii dla cząsteczki wody, czyli dla grupy C21,* gdy oś C2 jest osią 2, a woda leży w płaszczyźnie yz:

	'1	0 0'		'-1 0 0'
M{a.xz) =	0 .0	-1 0 0 1	: M (ayz) —	0 1 0 0 0 1

	■ 1 0 0'		'-1	0 ()'
M(E) =	0 1 0	: M(c2) =	0 -1 0
	0 0 1		0	0 Ij

Dla obrotów wokół osi C3, czyli tak jak w amoniaku, reprezentacja macierzowa obrotów jest następująca:

cos(27r/3)	sin(27r/3) 0		‘ -1/2	v^/3/2 0'
- sin(27r/3)	cos(27r/3) 0	-	-V5/2	-1/2 0
0	0 1 _		0	0 1

(Ul.11)

Podsumujmy: każdej operacji symetrii można przyporządkować macierz (w szczególności może to być liczba) taką, że macierze te mnożą się przez siebie zgodnie z tabelą mnożenia grupowego. Macierze te zebrane są w tabeli U 1.2. Zbiór liczb lub macierzy mnożących się przez siebie zgodnie z tabelą mnożenia grupowego nazywamy reprezentacją grupy. Dla każdej grupy możemy mieć nieskończenie wiele reprezentacji, ale niektóre z nich są wyróżnione.

W tabeli U 1.3 podane są trzy reprezentacje J* (i - 1, 2, 3) rozpatrywanej grupy. Dwie z nich, rj i P2, są zbiorami liczb, natomiast /•* jest zbiorem macierzy, z których każda ma dwa wiersze i dwie kolumny, a zastosowane symbole a i b mają następujące wartości: a. = b — Reprezentacje Fi i P‘2 nazywamy reprezentacjami jednowymiarowymi, a reprezentację J3 -dwuwymiarową.

Reprezentacja i~i jest szczególna. Składa się ona z samych jedynek i jest nazywana reprezentacją pełnosymetryczną. Jest oczywiste, że mnożenie elementów tej reprezentacji jest zgodne z każdą tabelą mnożenia grupowego. Repre-