245 (7)

9,3.1. Zastosowanie kombinatoryki do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń (III)

MWfykorgstywanie pojęć kombinatorycznych w probabilistyce Klasyczna definicja prawdopodobieństwa podaje gotowy wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia A C Q. I ZardwnO w liczniku, jak i w mianowniku tego wzoru są liczebności zbiorów odpowiednio: A i Q. Aby obliczyć liczebność tych zbiorów, należy zastosować właściwe pojęcia kombinatorycznc.

Doświadczenia losowe	Kolęjność elementów	Pojęcie kombinatorycznc	Wzór
Zmiana kolejności n elementów	istotna	pcrmutacja	P,= n!
Wybór k elementów spośród n elementów (A < n)	nieistotna	kombinacja
Losowanie k elementów spośród n-elc-mcniowcgo bez zwrotu (na raz) (k < n)	istotna	wariacja bez powtórzeń
Losowanie k elementów spośród « elementów ze zwrotem lub rozmieszczenie k elementów na ii miejscach	istotna	wariacja z powtórzeniami	K* = /i*

9.3.2. Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia z wykorzystaniem wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (por. 9.2.3c.2)

Dość często łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: A' niż prawdopodobieństwo samego zdarzenia A. Następnie korzystając ze wzo-IniP(A) = 1 -P(A'), obliczyć szukane prawdopodobieństwo zdarzenia A. Zdarzeniem przeciwnym | do A jest A', a przeciwnym do A' jest A.

\ Oto przykłady:

a) Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej raz (choć raz) orla w 10-krotnym rzucie monetą.

Zdarzenie A: co najmniej raz wypad! orzeł ; w 10-krotnym rzucie monetą oznacza, że orze! wypadł: raz lub dwa. lub trzy, lub... itd., lub 10 razy. Należałoby zatem obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A, jako prawdopodobieństwo sumy 10 zdarzeń (a gdyby rzut byl 100-krotny, to A byłoby sumą 100 zdarzeń). Jest to zatem dość uciążliwe. Znacznie łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo ! zdarzenia przeciwnego do A: A'. Skoro zdarzenie A oznacza „choć raz...”, to zdarzenie przeciwne j do A: A' oznacza „ani razu...”. Zdarzenie przeciwne A'w tym przykładzie oznacza, że ani razu nic wypadł orzeł, czyli otrzymano same reszki.

Zatem:

.....-^vio) ■

^ł,e{0,fl} A/ e {l.....10 }}(10-krotny rzut monetą)

0=V^I1°=2¹⁰

ń-co najmniej raz wypadł orzeł - p)R, R, R. R, R, R, R, R. R)} (same reszki)

*⁼ I (jeden ciąg złożony z samych reszek)

I fHSgj, />(A)=l-P(A')=l-4ć

ł    mm •    «-

°^lcńj prawdopodobieństwo, że w 10-krotnym ^ monetą choć raz wypadnie orzeł, jest równe

b) Wygraną na loterii jest samochód. Na 1000 losów jeden wygrywa. Jest 5000 losów. Oblicz prawdopodobieństwo wygrania samochodu przez posiadacza 3 losów.

Z treści zadania wynika, że wśród 5000 losów jest 5 losów pełnych i 4995 pustych. Stąd też posiadacza trzech losów mogą spotkać następujące sytuacje: wszystkie losy są puste albo: jeden, dwa lub trzy losy są wygrywające. Zdarzenie A to wygranie samochodu. Zdecydowanie łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia A' polegającego na nie-wygraniu samochodu (wszystkie losy są puste). Zatem 12= |tu= (a,b,c): a.b.c e {zbiór losów w loterii}}

Łc³ =/⁵⁰⁰°\

A - wygranie samochodu (co najmniej jeden los wśród trzech zakupionych jest pełny)

A'- niewygranie samochodu (wszystkie zakupione losy są puste)

14995\

*=r?⁵\

I ³ / ^V ’ Q    / 5000\

= 1 - P(A') = I - (⁴^⁵^

SA.......— \ 3^1

Zatem prawdopodobieństwo wygrania samocho-

(T)

du jest równe P(A)

T

9. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

©