247 (9)

^3.4. Obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń za pomocą drzewa probabilistycznego (II)

omykhdy rozwiązywania zadań za pomocą drzewa:

(l)Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie dwóch szóstek w trzech rzutach symetryczną kost-Vą <to gry-

Każdy rzut kostką stanowi określony etap doświadczenia. Itzykrotny rzut kostką jest więc złożony i trzech etapów. W wyniku każdego rzutu (etapu) można otrzymać od jednego do sześciu oczek. Zgodnie z treścią zadania interesuje nas wyrzucenie dokładnie dwóch szóstek. Zatem przyjmujemy, że w kolejnych etapach:

\-oznacza zdarzenie wyrzucenia szóstki (sześciu oczek), PA = -r

\ -oznacza zdarzenie wyrzucenia „nieszóstki” (czyli liczby oczek od 1 do 5 włącznie), PA' = ^

Oto drzewo ilustrujące doświadczenie losowe trzykrotnego rzutu symetryczną kostką.

Zdarzenie W - wyrzucenie dokładnie

4

J A

1 MY 5

dwóch szóstek (pogrubione gałęzie drze-«n) w trzykrotnym rzucie kostką da się przedstawić jako:

((A,A,A'),	(A,A\A),	(A^1,A,A)}	AM	ko \/f /?		\6 \/I'
(szóstka	(szóstka	(szóstka	i As i. 6/ \6 u	#\ 5 1/	\5	1 /\5
w pierwszym i drugim	w pierwszym i trzecim	w drugim i trzecim		f ys Sr	V	y \
nucie)	rzucie)	rzucie)	A A' A	A' A	A'	A A'

III etap: trzeci rzut kostką

I    etap: pierwszy rzut kostki)

II    ciup: drugi rzut kostką

Zgodnie z regułą sum i iloczynów poszukiwane prawdopodobieństwo jest równe:

p(w\-!.i.l ₊ i. II +1.1.1 = JI-6 6 6    6 6 6    6 6 6    432

(2) Z urny zawierającej 5 kul białych i 5 czarnych wyciągamy jedną kulę, a z pozostałych losujemy dwie kule. Obliczymy prawdopodobieństwo, że kule wyciągnięte w drugim losowaniu są różnych kolorów.

Oto drzewo reprezentujące doświadczenie losowe opisane w zadaniu wraz z ilustracjami urn:

Zgodnie z treścią zadania interesują nas tylko wyróżnione gałęzie (zakończone sytuacją wylosowania I vdrugim losowaniu dwóch kul różnych kolorów (B, C)).

1 ^4kul	1 ^5kul 1
|Md|	czarnych I

⁺ j

I etap: wyciągnięcie pierwszej kuli z 10 kul (B - białej lub C - czarnej)

II clap: losowanie dwóch kul spośród 9

i ^ i

Podsumowanie

^związywanie zadań z zastosowaniem drzewa probabilistycznego to graficzny sposób rozwiązywania za- i d* z rachunku prawdopodobieństwa. Wynika on z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym | IP«.9i.l.i9i.2.).

?•Rachunek prawdopodobieństwa