28 (309)

Zwróćmy uwagę, że jeśli /?(A) < m, to d > 0. Wtedy rozwiązanie X = A/(_M)L ma następującą strukturę:

	X, ^0
	II Cl _1

v_ _r „[(A^M A,)"‘A⁷ M L

^x“A/_(M)L-j    ^

skąd wynika, że liczba niewiadomych o wartości równej zeru jest równa defektowi. Zatem, jeśli w opracowaniu -- wyrównaniu niezależnych układów obserwacyjnych o defekcie d stosuje się uogólnione odwrotności A/(.yj)> ^to problem taki jest równoważny klasycznym rozwiązaniom, w których przyjmuje się stałość d elementów sieci geodezyjnej, np. współrzędnych wybranych punktów, azymutu któregoś z boków itp.

Między g-odwrotnością o minimalnej normie oraz g-odwrotnością w metodzie najmniejszych kwadratów zachodzi następujący związek (Rao 1982):

(^A>/ )«(M)    (1.34)

Uogólniona odwrotność o minimalnej normie w metodzie najmniejszych kwadratów

Jest to taka g-odwrotność macierzy a£_1n e    że (np. Rao 1982)

i) AAj_wA = A    —■?    .....]    .....— g-odwrotność

ii)    (A a£in)⁷ M = M A A^n    j ..........g-odwrotność w metodzie naj-

j    mniejszych kwadratów

iii)    (Ajy_JNA)⁷ N = NaJ|_NA    ............^J g-odwrotność o minimalnej normie

oraz dodatkowo

^ ^AMN^Aamn“^amn

Uogólniona odwrotność A(_1N jest jednoznacznie wyznaczalną g-odwrot-nością macierzy A, taką że wektor

X = aJ,_nL    (1.35)

stanowiący rozwiązanie równania AX = L, nie tylko spełnia własność (A X-L)⁷ M (A X - L) = min, lecz jest także wektorem o minimalnej normie względem macierzy N. Zatem, X = a£_inL jest takim rozwiązaniem równania A X = L, że

(A X - I,)⁷ M (A X - L) = min

X||² =X^yNX - min

»N

Jednym z wariantów odwrotności a£_jn jest macierz

(1.37)

AŚvxn = N^_,A^rM A(A^rW A N”'A⁷'m A)"A^rM

Zaióżmy, w odróżnieniu od poprzedniej wersji, że A e    n > m,

R(A) = m, co oznacza, że delfA⁷ M A) -a 0 i istnieje odwrotność (A⁷ MA)”* macierzy A⁷ M A e    Wówczas

A\in = N“ⁱA^rM A (A⁷'M A N”¹ A⁷ M A)“ A⁷ M =

= N”¹ A⁷ M A(A⁷ M A)'"¹ N (A^rM A)”¹ A⁷ M = = (A^rM A)”¹ A^V'M

Wynika stąd, że jeśli det(A⁷ M A) -a 0 , to a*_in ~ aj"_(M) (zobacz wzór 1.32).

Przyjmijmy jednak (np. tak jak w przypadku swobodnych sieci geodezyjnych), że R(A) = r < m i macierz A⁷MAs3v^m,/" jest osobliwa o rzędzie A’(A⁷ M A) - R{A)-■ r i defekcie d-m-r. Niech (tak jak to czyniliśmy już wcześniej.)

A = (Aj, A2]

gdzie: A^eOP*’⁷", Aoe oraz /?(A⁷ M Aj) = R(A^l M A) = r. Jeżeli założymy, że N jest macierzą symetryczną, można ponadto zapisać

Wówczas

A^rM A N”¹

A[mA) a[MA₂ N,i N|2 _

©i jQii +ęnQk ©nQi2⁺⁰i2Q22

O9|QU⁺⁰22Q?2 ⁰2lQl2 ^ł*⁰22Q22.

29