29 (713)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Liczba awarii	0	1	2	3	4	5
Liczba diii	15	10	12	S	5	0

80/ Obserwowano awaryjność Internetu na pewnym obszarze w ciągu 50 dni. Uzyskane dane zawarte są w tabeli 43. Zwery fikować hipotezą, że jest to rozkład zgodny z rozkładem Poissona na poziomie istotności a — 0,02. Tabela 43.

Pomocniczo obliczamy X: X = -Y kn_k =1,56 = A

” k=o

Uwaga! Zgodnie z metodą największej wiarygodności, estymatorem parametru 6jest ta jego wartość, przy której funkcja wiarygodności osiąga największą wartość. Dla rozkładu Poissona przyjmuje się, że estymatorem parametru X jest X.

W tabeli 44 przedstawiono obliczenia prowadzące do wyznaczenia statysty ki kontrolnej.

Tabela 44.

k	nk	Pj	n Pj	iij - n pj	(nj - n pj)^2	kj -"Pj?
						"Pi
0	15	0,21	10,5	4,5	20,25	1,92
1	10	0.328	16.4	-6,4	40,96	2,498
i*	12	0.256	12.8	-0,8	0,64	0.05
3	8	0,133	6,65	1,35	1,82	0,273
4	5	0,052	2,6	2,4	5,76	2,215
5	0	0.016	0.8	-0,8	0,64	0,8
						= 7.76

W tabeli 44, pj oznacza prawdopodobieństwo teoretyczne obliczone ze wzoru na prawdopodobieństwo w rozkładzie Poissona.

-56-

P(X = k)=e~* •—

’ k\

2    -7 —1 r

Otrzymano statystykę kontrolną %^ohs ~ ’    .

Z tablic wartości krytycznych rozkładu chi-kwadrat odczytujemy xl dla Z_a ⁼ 1 U>67?

a = 0,02 oraz dla n = 4 stopni swobody (ponieważ n = k-l-/)

Ponieważ ^    ^ więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o zgodności

z rozkładem Poissona.

7. Zmienne losowe i rozkłady dwuwymiarowe

Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi określonymi na pewnych przestrzeniach probabilistycznych, to parę (X, Y) będziemy nazywać dwuwymiarową zmienną losową.

Dystrybuantą dwuwymiarowej zmiennej losowej nazywamy funkcję dwóch zmiennych: x i y taką, że:

(1.30)    F(x,y)=P(X <xj <y) dla (x,y)eR²

Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej ma własności:

if lim /^r(x,y) = 0 dla dowolnego x e R; lim F(*,y)= 0 dla dowolnego y e R

y—>—zc    x~*-oo

X—MO y-*cę.

2/ limf (.v,y)=l

3/ P(a <X< b,c <Y <d)~ F(b,d)~ F(b,c)- F(a,d)+ F{a,c)> 0 4/ Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą i co najmniej lewostronnie ciągłą względem każdego z argumentów x bądź y.

Dwuwymiarową zmienną losową skokową nazywamy taką zmienną losową, która przyjmuje skończoną lub przeliczalną liczbę wartości oraz:

^(L31)    P(X = x_l;Y =y_k)⁼ P,k 11 P,* = 1 i,keN.

i k

Dwuwymiarową zmienną losową ciągłą nazywamy taka zmienną losową, że istnieje nieujemna funkcja/taka, że dystrybuanta tej zmiennej losowej da się przedstawić jako całka:

F(x,y)= j J/(w,v)rfv

du dla (x,y)<£ R

-X

Zmienna losowa dwuwymiarowa typu ciągłego ma własności:

gC 00

J \f(x,y)dydx = 1

-57-