2 (493)

\ 400

\ 400

1. Znaleźć postać algebraiczną liczby płaszczyźnie zespolonej.

• 2. Wykazać, że G = \ A =

(1 + /K-1-0,

,cpeR\ zbiór jest grupą ze

i zaznaczyć ją na

cos#> sin<9 -sin^ cos^>

względu na mnożenie macierzy.

•    3.Znaleźć pozostałe pierwiastki wielomianu

IV (z) = x⁴ - 6x* +18„v² - 30jc + 25, wiedząc, że z_x =2 + / jest jednym z nich.

-4. ajPodać def. iloczynu wektorowego i interpretację geometryczną jego długości

—►

•    b) Obliczyć pole równoległoboku zbudowanego na wektorach p i q

—* “♦ ~~¥

wiedząc, że pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a = 2 p+ 4 q i b = p-^jest równe 12

•    5. a) Wyprowadzić równanie parametryczne prostej - b) Znaleźć odległość między prostymi

y z-1    , x + 4_y-4_z +

~    * i • I —    "    “ I

i

(Jeśli korzystamy ze wzoru

JC + 1

2    2-3    *    2    -1-2

trzeba wzór uzasadnić)

- 6. a) Podać def. wektorów liniowo zależnych.. Sprawdzić, czy wektory

m, = (1,1,-1,3), u₂ = (2,-1,1,-2), u, = (1,-1,2,0) są liniowo zależne, b) Wektory generują przestrzeń R⁴ Jeśli dowolny wektor

u - (jr,y,z,/)tej przestrzeni można przedstawić, jako kombinację liniową

tych wektorów. Czy wektory z punktu a) generują przestrzeń R⁴ ? Odpowiedź uzasadnić na podstawie tej def.. ( czyli przeprowadzić dyskusję, czy otrzymany układ równań ma rozwiązanie )

7. 5. Znaleźć macierz i jądro (jądro zinterpretować geometrycznie ) przekształcenia liniowego L.Rⁱ-*R²\ L(x,y,z) = (x-2y + z,2x + y-z)

w bazach : m, = (l,-2,0), u₂ = (0,1,-1), u_i = (2,0,1) przestrzeni Rⁱ oraz

—¥    —>

e, =(1,0), e₂ =(-1,1) przestrzeni R².