327 2

327

8.1. Podstawy teoretyczne

' potęcie równania wariacyjnego można uogólnić na uV.łady równań różniczkowych. .    *_vad₂my,jat w §6.9.2, macierz Jacobiego/'O )=(dp_tfdrjj)- Wtedy zmieniamy w (8.1.3)

^ j _u odpowiednio na J(x)=/'iy(x, c)) i u=ćyfd}’,, gdzie y_t jest składową wektora c. P Aby uogólnić ostatnie irzy twierdzenia, zastępujemy warunek ófJćy^L dla każdego _|X vVe D warunkiem

/i(/ '(y })< L    dla każdego (x, y) e D,

gć2ic /> jest obszarem (s+ ł)-wymiarowym, a M'l J^¹ normą logarytmiczną macierzy określona niżej.

Definicja. Niech j| • | oznacza pewną normę wektora i indukowaną przez nią normę macierzy. Wtedy odpowiednią normą logarytmiczną macierzy A jest

,    .. i|/+*.4||-l

/*(/*)=lun--—— •

«-o e

Zob. też § 8.3.6 i zadanie 6 z § 8.5, gdzie podano interesujące dla praktyki warianty twierdzenia 8 1.4. Trzeba też pamiętać, że to twierdzenie jest prawdziwe dla podanej wyżej definicji błędu lokalnego. W' publikacjach można znaleźć inne definicje, dla których twierdzenie 8.1.4 nie jest słuszne.

8.1.3. Inne zagadnienia różniczkowe

Oprócz, zagadnień początkowych rozważa się dla równań różniczkowych także zagadnienia brzegowe i zagadnienia własne, gdzie rozwiązania powinny spełniać pewne warunki w dwóch (lub więcei) punktach. Ogólną orientację w takich zagadnieniach daje § 8.4.

Wiele problemów nauki i techniki prowadzi do równań różniczkowych cząstkowych, których rozwiązaniami są funkcje wielu zmiennych (np współrzędnych przestrzennych *'    ² i czasu t). Tc równania wiążą pewne pochodne cząstkowe szukanych funkcji, a na

^ie lunkcjc nakłada się jeszcze dodatkowe warunki początkowe lub brzegowe. Krótkie oprowadzenie do metod numerycznych rozwiązywania tvch ważnvch zagadnień podano * § $.6

Pytania przeglądowe

U Wyjaśnić na przykładzie, jak można przekształcić równanie różniczkowe wyższego * ^ wa układ równań różniczkowych rzędu pierwszego.

P^zen    błędy obcięca — lokalny i globalny — i wyjaśnić (za pomocą rysunku)

j N^nie sję błędów w metodzie jednokrokowej.

‘ ^enniować i wyprowadzić równanie wariacyjne i sformułować kilka wvrukaiacvcłi

wniosków.    ‘

B^Okfęślić normę logarytmiczną, podać jej zastosowanie.