351 2

351

8.4. Szkic metod rozwiązywania, zagadnień brzegowych i własnych

PRZYKŁAD 8.4.1. Zagadnienie brzegowe

y”+y=x. y(0) = I,    I

jjja rozwiązanie dokładne ;’(.*)= cos x - sin .r -t-x. Równanie różnicowe ma postać y♦1 - 2y„ + y„ _, + h²y_n = h *x_H    (1 < n ś m - 1).

>'o=i * ym=ł*-i-

W poniższej tablicy podano rozwiązania tego układu równań dla m = 5 i m = 10:

	yU)	m= 5 y(x, 0.1 rc)	/n = 10 y (x, Q.05r.)	*10^&J	Ekstrapolacja Richardsona	10* x (błąd ckstr. Rich)
0	1.000000	1.000000	1.000000	0	1.000000	0
0.1 0.2	0.988334 0.956199	0.956572	0.988402 0.956291	-94	0.956197	-2
0.3 0.4	0.908255 0.849550	0.849741	0.90S337 0.849597	-48	0.849549	-J
0.5 0.6	0.785398 0.721246	0.721056	0.785398 0.721199	48	0.721247	t
0.7 0.8	0.662541 0.614598	0.614224	0.662460 0.614505	94	0.614599	1
0.9 1.0	0.582463 0.570796	0.570796	0.582395 0.570796	0	0.570796	0

Metody ulepszania dokładności opisane w § 8.3.7 stosują się również do zagadnień brzegowych. W szczególności dła równań postaci y' —f (x, >•) metoda Co we I la daje dokładność (Ąk^A) mniej więcej takim samym kosztem jak opisana wv2ej metoda o dokładności 0(A²).

Gdy równame jest nieliniowe, można stosować techniki opisane w $ 6.9. Jako pierwsze Przybliżenie można — w braku lepszej propozycji — wybrać liczby

Stąd

yo=^a’ )’* = $■

Jeśli warunek brzegowy ma postać

Po >’(*>)-Pi/(fr) = P2.

Bfi|#?adziw5z> dodatkowy punkt j —b +h można napisać taki warunek w postaci

Poy»+-

= Px

2 h

na-

ru^_a *! '5^ "^rać b między dwoma punktami siatki. Postać warunków brzegowych ^y‘^k* P*«rwsze i ostatnie z równań (8.4.5).