353 2

353

8,4. Szkic mclod rozwiązywania zagadnień brzegowych i własnych

(rt daje trywialne rozwiązanie j'=0, a n = —k daje rozwiązanie identyczne z tym, w któ-rysnfl³^)* Powyższe wartości nazywa się wrtrtościami wlcsiymi danego zagadnienia (równania różniczkowego z warunkami brzegowymi). Nietrywiałne rozwiązania istniejące ńla A równego wartości własnej nazywa z\ą funkcjami własnymi. W tym przykładzie z wartością własną /. = «²*² wiążą się funkcje własne ósin(nn.r).

Zagadnienia własne występują w wielu dziedzinach fizyki klasycznej i nowoczesnej (drgan’8 własne ild.). Przykład 8.4.2 wynika np. z obliczania liczby fal dla struny drgającej. Pewne inne ważne zagadnienia związane z równaniami różniczkowymi cząstkowymi fizyki można zredukować, rozdzielając zmienne, do zagadnień własnych dla równań zwyczajnych.

Zgodnie z $ 8.4.2 metoda różnicowa daje przybliżenie X(h) wartości własnej X takie, że A(ń) = A + c₂fc²+c₃Jr³-f

gdzie w pewnych przypadkach jest zerem (np. w przykładzie 8.4.3). (Przypomnijmy założenia o regułamości z § 8.4.1.)

Przykład 8.4.3. Dla zadania z przykładu 8.4.2 metoda różnicowa (z A=$) daje układ równań

— 2y, + v₂

h²

>’i-2y

^yx 2 f Av, =0.

y\

—i—

o

- + *>'2=0.

Jest to układ jednorodny o dwóch równaniach i dwóch niewiadomych, mający metrykalne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

= 0.

| —2+A/t²    1

1    -2+Xh²

Stąd

AA^a-2=±L (/» = }).

^rozwiązaniami tych równań są liczby

Ai=9    (dokładna wartość: jt²=9.8696),

A₂=27    (dokładna wartość: 4jt² = 39.48).

^D!a tak rzadkiej siatki nie można już oszacować większych wartości własnych.

Podobne obliczenia dla różnych h dają następujące wyniki dla najmniejszej wartości Jasnej:

* 1		Richardson	Błąd
i , »		9.8	-0.0696
£ j 9.3726	4/J -»0.4791	9.8517	-0.0179

**uracrycxno