Image0108 BMP

I’r/y analizie pul elektromagnetycznych c/.yslo spotyka uę zagadnienie brzegowe dla óuMania Holmlioltza

V‘t+ai' = 0,    (II. IN)

dż->e, V' oznacza operator Laplace'a, zaś A jest stałym parametrem. Wartości parametru r/y których istnieją nierówne tożsamościowa zeru rozwiązania równania (11.17) nuzy-amy wartościami własnymi, a same rozwiązania — funkcjami własnymi zagadnienia rzegowego.

W podobny sposób można również otrzymać wzory dla potrójnego szeregu Fouriera, ardziej obszerne informacje na temat uogólnionych szeregów Fouriera oraz ich zaslo->wań podane są w pracach [12, 20].

.2.2. Równanie Laplacc'a

Jako przykład zastosowania metody rozdzielenia zmiennych w odniesieniu do równia l.aplace’a rozpal rżymy dwa zagadnienia polegające na wyznaczeniu potencjału obszarze.

Przykład I. Wyznaczymy potencja! piuskiego poiu elektrostatycznego wo wnętrzu nieskończenie igiego prostopadłościanu (rys. 11.1), jeżeli potencja¹ dwóch przeciwległych ścian jest równy F„, i r uencjai pozostałych ścian jest równy zeru.

	b
—	—
	-b

Rys. 11.1. Przekrój poprzeczny nieskończenie długiego prostopadłościanu

Zagadnienie sprowadza sic do wyznaczenia ro/wiaza ma dw u wy miarowego równania i.aplace'a

	,^:y c^1 v + , v o- l.\ ('l^1	(11.19)
niującego warunki brzegowe
F(u, r) ••	\'( -<:,}•) -- y0, - ń < y < h,
t ( v , /»> •=	li.v, ~ft)-0, — a<\ <a.	(11.20)

aikujemy rozwiązania równania (II.Nl w postaci

I '(.v, r) - I X„(x) V„(v),

ri • I

/a loże ni u, ze limkcjc t„(U    n ^1. 2, ... spełniaj.! równanie l.aplacea. (łbliczujtic pochodne

f'V* -    1

', - £ .v„(v> v,r(y)

ć>y

i podstawiając je do równania (11.19), otrzymujemy równanie

i iA"(.v>y„<v)+ x„(x>v; (y)]=-.

««i

kióre jest spełnione, gdy

,C(v)n(i > t-«.v)y"(y)-o.

a stąd po podbieleniu stronami prze/ A„(v) ł.O'). znajdujemy

A„T’)

A i v >

+

iT(y)

Powyższe rów na nie jesl spełnione, gdy

\;/{>) , An(.v)

)7(v)

'■)

gdzie*, r* oznacza stalą liczby, niezależny od zmiennych ,v, y. Otrzymane inwnania różniczkowa przed-

stawiamy w postaci:

.V,V<v)-r* A'„(a) -0,

y;;(?j i >;ij-)=o,

a icli ogólne rozwiązania są funkcjami

<11.22)

I

M 1.2.1)

.V„(n ł - c;„c li U, sh r„.v , y-t.v)'-t.eos t'„.v t (/„.sin i-„ r.

gdzie:    /)„, c„, (/„ są stałymi całkowania.

Z symetrii warunków brzegowych (J1.20) wynika, że funkcje ,V„(.v) oraz )'„(>-) są parzyste, co uzysukje siy przy />„ — () oraz <(„ — 0, wobec czego

A„( v) - rj_ueli i „ r.

)'n(y) = r„cosi-„ r. Warunek brzegowy dla y - ±b jest spełniony, gdy cos r„f>=0, skąd otrzymujemy	01.24)
	!'„ft = (2n-l) 2 , »=
= 1, 2,czyli (2/i- i)ir ^v"- zh ' •	01.25)
Rozwiązanie równania (11.19) można przedstawić w postaci J-'(.v, .r) * L A„cli ysosr„y,	(11.26)

rp - I

zgodnie z wyrażeniem < 11.21), zaś i„ określone jest zależnością (11,25), Funkcjami własnymi ro/pa Irywanego zagadnienia są funkcje cos r„y, 1,2,

Podstawiając a---+« do wzoru (11.26). otrzymujemy

f o 2. A„ cli i-„ «eos i'„ r,

*i - I

(1127)