Image0068 BMP

7. FALE ELEKTROMAGNETYCZNE

7.1.    Potencjały elektrodynamiczne

7.1.1.    Zależności podstawowe

W jednorodnym środowisku o przenikalności elektrycznej e=const i o przenikalności magnetycznej p=const istnieje pole elektromagnetyczne wywołane przez ładunek elek-tryczny o gęstości przestrzennej p i prąd o gęstości J. Wielkości p oraz j są funkcjami trzech zmiennych przestrzennych oraz czasu; przyjmujemy, że wielkości te są różne od zera w obszarze v lub w jego części. Przy przyjętych założeniach pole elektromagnetyczne opisane jest przez równania Maxwella (por. p. 1.4), prawo Gaussa oraz równanie wyrażające bezźródłowość pola magnetycznego (por. p. l.S), a mianowicie

'    3E

rotH = J+e —,    (7.1)

dl

rotE--4,    (7.2)

dt

divE——»	(7.3)
e
divB=0.	(7.4)

Wektory E, H, B natężenia pola elektrycznego, natężenia pola magnetycznego oraz in-iukcji magnetycznej są funkcjami trzech zmiennych przestrzennych i czasu.

Pole elektromagnetyczne można w omawianych warunkach opisać dwiema funkcjami, ledną z tych funkcji jest funkcja wektorowa A, zwana potencjałem wektorowym, a drugą — funkcja skalarna V, zwana potencjałem skalarnym pola elektromagnetycznego. Obie te unkcje zależą od trzech zmiennych przestrzennych punktu P i czasu, co zaznacza się pisząc A (P, t) oraz V (P, t). Funkcje te nazywane są ogólnie potencjałami elektrodynamicznymi.

Podobnie jak w p. 4.3.2, przedstawimy indukcję magnetyczną za pomocą wzoru

B=rotA.    (7.5)

Zależność (7.4) jest spełniona ze względu na tożsamość wektorową div 101 A -0. Podstawiając wyrażenie (7.5) do równania (7.2), mamy

rotE =----rotA,

dt

czyli

/ SA\ rotf E+— 1=0.

V 8t)

Przy uwzględnieniu, ie rot grad V—0, można przyjąć

dA

a stąd

Otrzymaną zależność przedstawimy w postaci

E=E,+E,,,,

gdzie:

dA

^E,“^_dT’    E„. = —grad V.

(7.6)

(7.7)

(7.8)

Wielkości E; oraz E,, nazywamy odpowiednio natężeniem indukowanego oraz natężeniem statycznego pola elektrycznego. Pole statyczne jest polem potencjalnym, natomiast pole indukowane jest polem wirowym i spowodowane jest zmianą czasową pola magnetycznego. Zmiana czasowa pola magnetycznego indukuje zatem pole elektryczne E₍, co tłumaczy nazwę „pole indukowane”. Zgodnie z zależnością (7.7) pole elektryczne można traktować jako superpozycję dwóch pól, a mianowicie pola statycznego i pola indukowanego.    0

Wzór (7.5) wyraża indukcję magnetyczną w zależności od potencjału wektorowego, wzór (7.6) wyraża natężenie pola elektrycznego w zależności od potencjału wektorowego

i skalarnego, natomiast natężenie pola magnetycznego otrzymuje się z zależności H = — B.

ft

Wynika stąd, że potencjały A oraz V opisują pole elektromagnetyczne.

7.1.2. Równania różniczkowe dla potencjałów elektrodynamicznych

Mnożąc stronami równanie (7.1) przez //, otrzymujemy

8E

rotB^/J + e^

8t

a po podstawieniu wzorów (7.5) oraz (7.6) znajdujemy

1 d²A

v²~Tt

rot rot A =fi J---₂- —-y — grad