360 2

360

8. Równania różniczkowe

Z wzoru (8.5.8) wynika, że

y_m-r+ir-V‘^l.

j-i

Równanie różnicowe rzędu k można napisać jako układ równań różnicowych rze* pierwszego; zob. odpowiedni wynik z § 8.1.1 dla równań różniczkowych. Wprowadza ^U

np. wektor

j^,n^as(>^,n» ••• • y n-*-*- i)^T •

Szczegóły przekształcenia zawiera zadanie 5 na końcu § 8.5.

Niekiedy jednak jest wygodniej nie przechodzić do układu. Dla układu niejednorodnego rzędu k można często wyznaczyć rozwiązanie szczególne, korzystając z metody współczynników nieoznaczonych; wtedy zaś dodając to rozwiązanie do rozwiązania ogólnego odpowiedniego równania różnicowego jednorodnego, można otrzymać rozwiązanie ogólne

Przykład 8.5.6. Równanie różnicowe:    2>*_-=o”.

Warunek początkowy: y₀ = 1.

Spróbujmy przyjąć, że y_J = ca^>. Otrzymujemy

ca^H+l-2caⁿ=a\

(a*2).

Wobec tego rozwiązanie ogólne ma postać

””=_a~2^+C‘-²"-

Dla «=0 jest

1=--+C,

a —2

Stąd

i"—2"

a—2

(dla a #2).

Gdy a-*2, wtedy reguła de 1’Hospitala daje ciąg

>’n=2" + » *2"“^l    (tt=2).

Zaleca się, aby czytelnik sprawdził, że - mimo pozornych różnic - otrzymane tu wyniki są zgodne z tymi, jakie otrzymano w przykładzie 8.5.5. Zauważmy też, jak trzeba zmodyfikować podstawienie ca\ gdy a-2, a ogólniej, gdy a jest pierwiastkiem równania charakterystycznego.

Przykład 8.5.7. Równanie różnicowe: v„₊₂-5>„₊, +6>-„=2n + 3(-1)".

Równanie charakterystyczne ma pierwiastki a_l = 3, u₂—2, a więc rozwiązaniem ogo nym równań >a jednorodnego jest c_t *3"+c₂ -2". Zbadajmy rozwiązanie szczególne po*

yjzsaj+b+ci-l)^y-