364 2

364

8. Równania różniczkowe

8.5.4. Liniowe metody wielokrokowe

Liniową metodę wielokrokową dla równania różniczkowego

(8-5.11)    y{a)-c

określa równanie różnicowe

(8.5.12)

1 = 0

Do tej klasy należy wiele metod rozważonych wcześniej, w tym metoda punktu środkowego metoda Adamsa i (z k równym 1) metoda Eulera i metoda trapezów. Wartości y_% (które mają być przybliżeniami wartości >(a-f uli)) można obliczać rekurencyjnie z równania

(8.5.12) , jeśli oprócz wartości początkowej .Vo = cjest danych fc— 1 wartości y_x, y_2t ...,y_k (jeśli /?_o^0, może być to prawdą tylko dla dostatecznie małych h). Te wartości można otrzymać np. z rozwinięcia Taylora lub jakąś metodą jednokrokową. Załóżmy, że dla wszystkich wielomianów y stopnia p zachodzi równość

£ («!>• (* - ih)~-hp_ty'(x-ih))=0.

i-o

Wartość p można wyznaczyć za pomocą techniki z przykładów 7.2.1 i 7.2.2, która pozwala też wyznaczyć stałą c występującą w poniższym związku, prawdziwym dla każdej funkcji y z ciągłą (j?+l)-szą pochodną:

(8.5.13)    i(«_ły(x-ih)-^_fy'(x~ih))-^⁺¹y°^>+1,(x).

1 = 0

Definicja Zgodność. Jeśli I, to metodę wielokrokową nazywa się zgodną. Wprowadzamy wielomiany tworzące

(8.5.14)    />(£)-    »(0 =£«*-'.

1 = 0 1=0

Zgodność jest równoważna związkom (zob. zadanie 17(b))

p(l)=0,    p'(l )«*(!).

Stabilność. Jeśli obszar stabilności (określony w^r § 8.5.3) zawiera punkt zero, to metodę nazywa się stabilną. Ten warunek jest równoważny żądaniu, aby wszystkie rozwiązani równania różnicowego

k

2>,

1-0

były ograniczone dla wszystkich dodatnich n. Z twierdzenia 8.5.2 otrzymujemy następuj^ wynik:

Twierdzenie 8.5.3. Następujący warunek dotyczący zer jest konieczny i dostateczny dla stabilności liniowej metody wielokrokowef. wszystkie zera wielomianu p znajdują wewnątrz okręgu jednostkowego lub na tym okręgu, a zera o module 1 są pojedyncze.