1250463453

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 11

Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu

Definicja

Równanie różniczkowe drugiego rzędu, które można zapisać w postaci (L) y" + PW</ + h(x)y = q(x) ,

nazywamy równaniem liniowym drugiego rzędu. Funkcje p(x), h(x) nazywamy współczynnikami, a funkcję q(x) wyrazem wolnym tego równania.

Jeżeli q(x) =£ 0, to równanie nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem liniowym jednorodnym.

Twierdzenie (istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (L))

Jeżeli funkcje p(x) , h(x) i q(x) są ciągle na przedziale (a, b) oraz xq G (a, 6), yo,yi € R, to zagadnienie początkowe

y" + p(x)y' + h(x)y = q(x) , y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = yi ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a, b).

Inaczej mówiąc, przez każdy punkt pasa (a, b) x R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego liniowego (L) o podanym współczynniku kierunkowym stycznej.

Uwaga

Jeżeli funkcje ip(x) i ip(x) są rozwiązaniami równania liniowego jednorodnego y" + p{x)y' + h(x)y = 0 ,

to dla dowolnych liczb rzeczywistych a, 0 funkcja y(x) = ctip{x) + 0ip(x) jest także rozwiązaniem tego równania.

Definicja

Parę rozwiązań (yi(x), y2(x)) równania liniowego jednorodnego y"+p(x)y'+h(x)y — 0 , określoną na przedziale (a, b), nazywamy układem fundamantalnym tego równania na tym przedziale, jeżeli dla każdego Xq € (a, b) spełniony jest warunek

W(yi(x),y₂(x)) =

Vi(x) y₂(x)

= yi(x)</₂(x) - y₂(x)yi(x) ^ 0 .