1250463459

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 3

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Definicja

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci (S) y‘ = g(x)h(y) ,

nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Uwaga

Jeżeli funkcje g(x) i h(y) są ciągłe, przy czym h(y) 0 dla każdego y, to całka równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (S) dana jest wzorem

gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą.

Czyli równanie o zmiennych rozdzielonych rozwiązujemy całkując obustronnie jego formę różniczkową.

Twierdzenie (istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (S))

Jeżeli funkcje g(x) i h(y) są ciągłe odpowiednio na przedziałach (a, b) i (c, d), przy czym h(y) ^ 0 dla y € (c, d) oraz jeżeli Xq 6 (a, b), y₀ € (c, d), to zagadnienie początkowe

y' = g(x)h{y) , y(x₀) = y₀ ,

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Czyli przez każdy punkt (Xo,yo) prostokąta (a, b) x (c, d) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania y' = g(x)h(y).