1250463455

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 13

Równania różniczkowe liniowe drugiego rzędu

O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH

Definicja

Równanie różniczkowe drugiego rzędu, które można zapisać w postaci (LS) y" +Piy' +P2V = q(x),

gdzie p\, p2 € R nazywamy równaniem różniczkowym liniowym drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Jeżeli q(x) 0, to równanie nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym. W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym.

Równanie jednorodne

Rozważmy równanie różniczkowe drugiego rzędu w postaci

y"+pi y'+P2 y = o.

Definicja Równanie postaci

r² + p\r + p₂ = 0

nazywamy równaniem charakterystycznym równania różniczkowego liniowego o stałych współczynnikach. Natomiast wielomian

w(r) = r² + pir + p₂

nazywamy wielomianem charakterystycznym tego równania. Definiujemy go tylko dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.

Uwaga

W zależności od rozwiązania wielomianu charakterystycznego możemy wyróżnić trzy przypadki:

• jeżeli Ti, r₂ są rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami wielomianu charakterystycznego, to układ fundamentalny tego równania tworzą funkcje

yi(x) = e^nx ,    y₂(x) = e^r2X ,

a rozwiązanie ogólne ma postać

y(x) = C_ie^riX + C₂e^riX ,