1250463451

Biotechnologia. Chemia. Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Definicja

Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci

(■R)    y'=A^x< v) ■

Najogólniejszą formą równania różniczkowego pierwszego rzędu jest równanie postaci F(x, y, y') — 0 .

Jak widać wiąże ono zmienną niezależną x, zmienną zależną y i jej pierwszą pochodną y'.

Funkcję y(x) nazywamy rozwiązaniem na przedziale (a,b) równania różniczkowego (R), jeżeli na tym przedziale jest różniczkowalna i zamienia równanie w tożsamość

»'(*) = /£*>*' W) ■

Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.

Definicja

Równanie różniczkowe (R) oraz warunek

{W)    y(x„) = y„

nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.

Uwaga

Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali w postaci

{RW)    t/ = f(x,y), y(xo) = y₀.

Liczby xo i yo nazywamy wartościami początkowymi.

Definicja

Funkcję y(x) nazywamy rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW), jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na pewnym przedziale zawierającym punkt xq i spełnia warunek (W).