1250463461

Biotechnologia. Chemia. Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 5

Równania różniczkowe liniowe pierwszego rzędu

Definicja

Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci

(L) y' + p{x)y = q(x) ,

nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeżeli q(x) ^ 0, to równanie nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym.

W przeciwnym przypadku nazywamy je równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym.

Schemat poszukiwania rozwiązania

•    Szukamy rozwiązania ogólnego y₀(x) rówania jednorodnego

•    Szukamy rozwiązania szczególnego y_s(x) równania niejednorodnego

•    Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego jest

y(x) = y₀(x) + y_s(x)

• Korzystamy z warunków początkowych, o ile są dane w treści zadania Twierdzenie (istnienie i jednoznaczność rozwiązań równania (L))

Jeżeli funkcje p(x) i q{x) są ciągłe na przedziale (a, b) oraz xq E (a, b),y_a E R, to zagadnienie początkowe

y' + P(x)y = q(x) , y(x₀) = y₀ ,

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a, b).

Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (a^oi2/o) pasa (a, 6) x R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego liniowego.

Sposoby rozwiązywania

Metoda uzmienniania stałej

Istotą ”metody uzmienniania stałej” jest założenie, że rozwiązanie równania różniczkowego niejednorodnego można przedstawić w postaci