1250463464

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 8

Równanie zupełne, Czynnik całkujący Równanie różniczkowe pierwszego rzędu postaci y' = f(x,y) można zapisać w postaci

dy = f(x,y)dx ,

gdzie dy = y'dx oznacza różniczkę funkcji y — y(x). Równanie to jest szczególnym przypadkiem równania postaci

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 ,

w którym P i Q oznaczają funkcje określone w pewnym obszarze fl G R².

Definicja

Jeżeli forma P(x,y)dx + Q{x,y)dy, zwana formą Pfaffa, jest różniczką pewnej funkcji dwu zmiennych, to równanie

P{x, y)dx + Q(x, y)dy — 0 nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym.

Twierdzenie

Jeżeli funkcje P i Q mają pochodne cząstkowe ciągłe w jednospójnym obszarze fi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, by równanie P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 było równaniem zupełnym jest warunek

dP_dQ dy ~ dx '

Twierdzenie

Jeżeli forma P(x,y)dx + Q(x,y)dy jest w pewnym obszarze Cl różniczką zupełną funkcji /, to rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zupełnego P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 jest jednoparametrowa rodzina funkcji uwikłanych, określona za pomocą równania

f(x,y)=c,

gdzie c jest dowolną stałą.

Definicja

Jeżeli istnieje tak funkcja y określona w obszarze fi, że równanie

n{x, y)P(x, y)dx + y,(x, y)Q{x, y)dy = 0