36 (204)

gdzie: d_x = X-X°, R — reszta rozwinięcia. W zastosowaniach omawianych w dalszej części podręcznika szereg ten jest ograniczany do pierwszych liniowych wyrazów rozwinięcia, czyli

/(X) = /(XV~^j d,_v    (1-44)

Uj\.

Podobnie, niech będzie różniczkowalna funkcja wektorowa

F(X) =

f\ (-X) /₂(X)

/„(X).

o znanej wartości w punkcie X°. Jeśli rozwiniemy tę funkcję w ograniczony do pierwszych wyrazów szereg Taylora (w otoczeniu dy punktu X°), uzyskamy

F(X) = F(X°) +    d_Y=Adv+\v    (1.45)

<vX j_X:=x⁰ '

gdzie:

A =    g , w = F(X°) e 5K"-¹.

dX j_x=xo

Specjalne iloczyny macierzy

1. Iloczyn kroneckerowski. Niech AeSi"^-"¹ oraz B g    Iloczynem kro-

neckerowskim macierzy A i B nazywamy macierz

u,,B    ct j 9 B

A®B =

tl') | B

^an2&

2 r		r^6	10	3 5'
1 3	®[3 5j =	3	5	15 25
0 -I		0	0	-3 -5 J

Własności (Rao 1982):

a)    0® A = A®0 = 0

b)    (A + B) ® C - (A ® C) + (B ® C)

c)    A ® (B + C) - (A ® B) + (A ® C)

d)    c A ®rfB = cd A ® B

e)    AB ® CD = (A ® C)(B ® D)

O (A®B}"‘ = A"¹ ®B^_1 o ile istnieją A'¹, B'¹

g)    (A®B)~ = A~®B~ dla każdej g-odwrotności

h)    (A®B)^r = A^r ®B⁷'

i)    (A®B)(A“¹®B“¹) = I

j)    Tr(A®B)=Tr(A)Tr(B)

2. Iloczyn Hadamarda. Niech A, Be91"^,m. Iloczynem Hadamarda macierzy A i B nazywamy macierz

"11	"l2	■■ «!,/<			Ó[2	• ^b\m			"12^12	^Cllni^blm
"21	"22	• "2m	*	hl	f>22	^b2m	=	"21^2!	^a22^b22	^ci2m^b2m
."„1	^an2 '	"/i/jj.		Pni	^bn2 *	^btun _			^an2^bn2 ’	^(itim^bmn _

	‘2 1-2'		2 0 3'		4 0 -6'
np.	3 4 5		1 2 6		3 8 30

Własności (Rao 1982): a) A*0 = 0

h) A*ll⁷ =11^/ * A = A, (przypomnijmy: l¹ =[], l,..., 1))

c)    A * B = B * A

d)    (A + B)*C = A*C + B*C

e)    Tr( A B) = l⁷ (A * B) 1

3. Iloczyn Khatri-Rao (Rao 1982). Niech A i B będą następującymi macierzami blokowymi (o tej samej liczbie bloków):

A =[A], A₂, .... A* 1 B=[B„B₂,..., li_k]

floczynem Khatri-Rao nazywamy macierz

A@B =(Aj ®B_lt A₂®B₂,..., A* ®B*|

						6	-3	2	f
^2 “I i	f		'3 i 2	r		2	-1	4	5
^3 1 I	0		1 U	5.		9	3	0	0
						3	l	0	0.

np.

37