372 2

372

8. Równania różniczkowe

ap. na trzy dni naprzód. Stosowane modele są pod wieloma względami mniej komplet niż powinny być.

Równania różniczkowe cząstkowe z czterema zmiennymi niezależnymi *, y_{t 2)} t należ do tych problemów, w których chciałoby się mieć szybsze niż obecnie komputery _2t znacznie większą pamięcią o szybkim dostępie. Na szczęście, często udaje się zmniejszyć liczbę wymiarów, korzystając z symetrii zadania lub stosując tzw. rozdzielenie zmień nych. Zadania z dwiema zmiennymi niezależnymi dadzą się zwykle rozwiązać.

Niniejszy rozdział ma na ogół tylko dać pewien pogląd na istniejące możliwości i zwrócić uwagę na ewentualne kłopoty ze stabilnością numeryczną. Pewne proste i ogólne pomysły zilustrowano przykładam';, które można by rozwiązać bardziej efektywnymi (_aJe trudniejszymi) metodami.

Dobrymi wstępem do rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych cząstkowych jest książka Smitha [123]. Bardziej zaawansowane wiadomości można znaleźć w' następujących książkach: Richtmyer i Morton [122], Mitchell [119], Forsythe i V/a$cw [105] oraz Varga [90].

8.6.2. Przykład zagadnienia początkowego

W wielu zastosowaniach trzeba badać jakiś proces zarówno w czasie, jak i w przestrzeni. W fizyce równania różniczkowa cząstkowe powstają często w ten sposób, że najpierw -korzystając z praw przyrody — tworzy się przybliżone równania różnicowe zawierające odpowiednie wielkości fizyczne i małe przyrosty w czasie i przestrzeni, a potem przechodzi się do granicy. Konstrukcja metod numerycznych polega często na odwrotnym przejściu, tzn. na zbudowaniu równań różnicowych z równania różniczkowego. Numcryk mus; jednak skonstruować taki schemat różnicowy, który byłby nic tylko zgodny z równaniem różniczkowym, ale również dokładny i stabilny. Tc pojęcia rozważano już wcześniej, w § 8.5.4.

Podamy tu prosty, ale typowy przykład. Zadanie polega na obliczeniu temperatury w jednorodnej płycie, w której początkowo temperatura jest wyższa r.a powierzchni, niż na drugiej. Krzywe, które chcemy znaleźć - tj. rozkłady ^lerT1ff^₀ w różnych chwilach - będą wyglądać w przybliżeniu tak, jak na rys. 8.6.1. ^^9TtośCl._ciC odpowiada tu jednej powierzchni płyty, a x=2 — drugiej. Wyodrębniamy teraz ^v, .^₀, N- 1 warstw o grubości h = 2/N i punktach środkowych x_t=ih (zob. rys. 8.6.2); dwie datkowc, skrajne warstwy mają grubość \h.