379 2

379

8.6. Równania różniczkowe cząstkowe

i czterokrotne zwiększenie stopnia macierzy. Gdy liczba punktów me jest zbyt duża, ożyć eliminacji Gaussa-, zob. § 5.4.2. (Często symetria zadania pozwala obniżyć ⁰ macierzy). Stosując ekstrapolację Richardsona, można często uzyskać dostateczną •toklatfeośćprzy umiarkowanie wielu punktach.

Może jednak się zdarzyć, że /i trzeba wybrać tak małe, iż eliminacja Gaussa nie byłaby już praktycznie wykonalna. W takich wypadkach bardziej użyteczna jest metoda nadre-lak nacji (zob. § 5.6). Daje ona wzór

h%)

(«>    _4u<^-ł.

i.j+1 ^ąuu

(por. (8.6.9)). gdzie punkty (*„ yj) przebiega się w takiej kolejności, w jakiej ponumerowano je na rys. 8.6.5. Proces jest zbieżny dla 0<e><2. W przypadku pokazanym na rysunku wartość co ^ 1.4 dałaby sensownie szybką zbieżność. W razie większej liczby punktów w siatce aj powinno być bliższe dwóch (zob. twierdzenie 5.6.3).(') W publikacjach podaje się pewne zasady porządkowania punktów (ważne, gdy stosuje się nadrełaksację) i wyboru u. W trudniejszych zadaniach trzeba szukać doświadczalnie najlepszej wartości o>; można to robić w pewien systematyczny sposób. Więcej szczegółów na ten temat podają publikacje zacytowane w § 8.6.1. Osiągalna prędkość zbieżności obniża się. gdy wzrasta liczba punktów siatki.

Dobra strategią rozwiązywania zagadnień brzegowych dla równań różniczkowych licowych jest rozpoczęcie obliczeń z rzadką siatką i zastosowanie eliminacji Guussa. Jeśli dokładność nie jest wystarczająca, to można użyć już znanych wyników -ewentualnie ekstrapolacji — do zbudowania dobrego przybliżenia początkowego dla metody iteracyjncj z gęstszą siatką. Budując to przybliżenie trzeba też two-wartości funkcji u w środkach kwadratów, z których składała się poprzednia siatka, celu można użyć operatora ; zob. rys. 7.7.3 i zadanie 5 do § 8.6.

'-•P»sana tu *>^ch. Istnieją

Ps*Ś» te

metodyka jest użyteczna również dla bardziej złożonych równań różniczko-metody efektywniejsze, ale i bardziej skomplikowane, np. metody nadre-_.    ycznej z przyspieszaniem zbieżności za pomocą metody sprzężonych gra

ntów lub przyspieszaniem Czebyszewa [129] i niejawne metody naprzemiennych kie-

jak można wykazać — po-

\ ) Choć założenia twierdzenia 5.6.3 nic są tu spełnione, jego tent ^1JC ^Wdiiwa; zob. |90|.