389 2

389

£.6. Równania różniczkowe cząstkowe

Kj&^liczyć optymalny czynnik nadrclaksacji dla pięciopunktowego przybliżenia A)a równania Lap!ace’a na siatce kwadratowej 20x20 (zob. przykład 5.6.2). ^^ttptotyczna .szybkość zbieżności metod Gaussa-Se i de la i optymalnej nad-

7 Znaleźć w przybliżeniu najmniejszą wartość A, dla której równanie

P²u-Au=Q

ma nietry wialne rozwiązanie znikające na brzegu trójkąta o wierzchołkach (0, 0), (0, I) i (1 0) (podstawowa częstość Oscylacji trójkątnej membrany). Wykorzystać metodę różnicową z 6=$ i A = i oraz ekstrapolację Richafdsona (§7.2.2, z p = 2). Porównać z wynikiem dokładnym A = Sn³.

8. Pokazać, że równanie różnicowe

t?lu=(u+-~a²fr)u    (a - stała)

przybliża równanie różniczkowe F²u»ou z błędem 0(h⁴).

9, Ugięcie u płyty obciążonej spełnia rówmanie różniczkowe

F⁴u=f(x,y)_>

gdzie J jest gęstością obciążenia. Napiszmy równanie jako układ

F²u=v_y F¹v=J

(zob. zadanie 2 z § 8.4). Warunki brzegowe są, dla pewnego obciążenia symetrycznego i dla płyty prostokątnej o wierzchołkach (-2, — 1), ( -2, 1). (2, I) i (2, - 1), następujące:

dii

u= _ =0 na bokach >• = 1 i x=2. on

'• :Vci' dv

■Bt-    —-=0    na liniach symetrii y=0 i x«().

on on

Naszkicować program obliczania macierzy układu otrzymanego przez przybliżenie operatora P² operatorem V\ na siatce kwadratowej o boku kwadratu l/.V. Rozważyć w szczc-8ólno$Ci warunki brzegowe. Jaki jest stopień i jaka jest szerokość wstęgi dla tej macierzy?

Na mocy twierdzenia całkowego Gaussa dla każdej funkcji spełniającej równanie kąpiące ł wewnątrz krzywej zamkniętej C zachodzi równość

Cdu

«is=0.

J on

c

Sformułować i udowodnić podobny związek spełniony dla dowolnego rozwiązania rów^ł-^IJaiiia różnicowego Fju = 0 w obsza-ze prostokątnym.

(^a) Co może dać próba rozwiązania zagadnienia początkowego dla równania ^S 2(1 P°^moc4 zwykłej metody różnicowej? Zbadać przenoszenie się zaburzenia ^J^^łJ,Oi>tkovvego. np. obliczając rekurencyjme u_LJ+, z równania różnicowego i warunków