400 2

400

9 Metody Fouriera

Pytani*

Prądów*

1.    Udowodnić ortogonałność i wyrażenia dla współczynników, będące podstawą lizy Fouriera (dla obu przypadków: ciągłego i dyskretnego).

2.    Pod jakimi warunkami szereg Fouriera dla funkcji/jest do niej zbieżny (twierdz i 922)1

3.    Jak oblicza się rozwinięcie Fouriera funkcji dwóch zmiennych?

Zadania

1.    (a) Udowodnić twierdzenie 9.2.3 i wzór (9.4.2).

Ib) Podać prostą charakterystykę funkcji, dla których rozwinięcie sinusowe ma tylko składniki parzyste.

2.    Niech/będzie funkcją parzystą o okresie 2zt taką, żc

f(x)=n-x (0<x<łt).

(a)    Wykreślić funkcję y=f(x) dla —

(b)    Rozwinąć / w szereg Fouriera.

(c)    Użyć tego szeregu do wykazania, że l +3"² + 5^-2 + 7“² +...«=£?r.

(d)    Obliczyć S=1 +2"^a4-3"²+4"² + ...

(e)    Obliczyć (korzystając z (9.2.7)) sumę l + 3~*+5“⁴-7~⁴ + ...

(f)    Zróżniczkować szereg Fouriera wyraz po wyrazie i porównać wynik z przykładem

9.2.1.

3.    Wykazać, że funkcja <J,(r) = r-| (0</< l) określona w § 7.4.4 ma rozwinięcie

* sin2mtf

C,(I)=- I ----

■ = i

Całkując wyraz po wyrazie otrzymać rozwinięcia dla funkcji 6_p(r) i udowodnić zdaiuc (wypowiedziane w § 7.4.4). żc c₉—G_p(/) ma wspólny znak z c_p. Wykazać też. że

ar.

Z '»    (p parzystej.

9.3. Szybka analiza Fouriera 9.3.1. Ważny przypadek szczegół

Zadanie polega na obliczeniu współczynników’ Fouriera {c_HJ?₌₀‘ dla funkcji

v- i

/(*)= £ C_;exp(/;x),

i-o

której wartości w punktach 2%fifN_: (/ł=0, 1, .... N— I) są znane. Zgodnie z tv»'i«