380 2

380

8. Równaniu różniczkowe

runków. Dla równania Poissona można stosować metody Fouriera, a także pewne metody bezpośrednie: zob. [87].

Zauważmy też, że dla równania Poissona V²u—f operator V% jest korzystniejszy u* V\, gdyż wobec (7.7.8) mamy rozwinięcie

r²9u=F²u+±k²F*u + (Hh^Ą)=f+±₁h¹rⁱh~0(h^Ą).

Jeśli zatem zamiast (8.6.9) korzysta się z równania różnicowego

(8.6.10)    rluu-Ai+htfrlfa,

to przy pewnych założeniach o gładkości funkcji u i f otrzymuje się błąd obcięcia 0{h*) Operator V% wymaga jednak nieznacznej zmiany metody nadrelaksacji.

8.6.4. Metody współczynników nieoznaczonych i metody wariacyjie

Zacznijmy od równania różniczkowego liniowego, określonego w obszarze B<= z liniowymi warunkami brzegowymi. Zagadnienie piszemy symbolicznie w post&ói

(8.6.11)    Au=f w D    (równanie różniczkowe),

(8.6.12)    Bu=g w ÓD    (warunek brzegowy)

{OD — brzeg obszaru D), gdzie A i B są operatorami liniowymi. (Liniowość oznacza, źe A(au+f}v)=ccAu+fiAv dla dowolnych stałych a, (i i dowolnych funkcji u, v_T dla których Au, A o. Bu, Bv istnieją). Zakładamy, że to zagadnienie ma jedyne rozwiązanie u*.

Przykład 8.6.1.

d²u

I],    w(0)=u(l)=»G.

uX

Warunek brzegowy można napisać w postaci z/(jr) — 0 dla ae{0} y [!}.

Przykład 8.6.2. Zadanie Dirichkta dfa równania Poissona w obszarze D.

-F²u=/(.r, >•). {x.y)ęD, u(x. v)=*q{x, ?), (x,y)eóD.

Dla zagadnienia liniowego nie ogranicza ogólność: założenie. że/=0 albog = 0- Wystar-zy zastąpić funkcję u różnica u — v, gdzie l> spełnia odpowiednio równanie różniczko^'$88 warunek brzegowy; zob. zadanie 13. (W istocie wystarczy tu odpowiednio liniowość nania różniczkowego albo warunku brzegowego).

Istnieje wiele różnych metod poszukiwania rozwiązania przybliżonego postaw.

(8.6.13)    u%c,^, + c^₂ + ... -ł-c^_n.

gdzie y/i są danymi funkcjami niezależnymi liniowo, na których jest rozpięta /i-wyni-aro^ przestrzeń funkcyjna H_r. Metody różnią się wyborem tej przestrzeni, a także