406 2

406

9. Metody Fouriera

Pytanie przegl,^

Wyjaśnić, na czym polega przedłużanie okresowe funkcji. Na co narażamy się lizie Fouriera), gdy przedłużenie okresowe ma nieciągłość, np. pochodnych, w pewnytfi punktach?    ‘toSI

1- (a) Udowodnić, że

I ^smTrri^=ctg

k=i i\+i

2(<V+1)

Wskazówka, sin x jest częścią urojona wyrażenia e^,x. (b) Znaleźć wielomian sinusowy

o wartości 1 w punktach

N

2 bj sin/* /=i

noc

'n+i

(a=1.2.....N).

Wskazówka. Zastosować wzór (9.4.2) lub informację, że wielomian sinusowy jest nieparzysty.

(c) Porównać granicę wyrażeń dla b_jx gdy N -» co, z wynikiem przykładu 9.2.1.

2. (a) Udowodnić nierówność (9.4.1).

(b) Wykazać, źc jeśli funkcja/spełnia założenia przyjęte w (9.4.1), to dla k^l mcźaa ją przybliżyć wielomianem trygonometrycznym

X

/=-■

z błędem o normie maksymalnej mniejszej od 2 ||j^r(ł:+,)||_0C,/(Ar/i^fc).

9.5. Twierdzenie całkowe Fouriera

W § 9.4 pokazaliśmy, jak można użyć metod Fouriera dla funkcji nieokresowej zdefiniowanej w przedziale skończonym. Przypuśćmy teraz, żc funkcja ę>(£) jest określona na cai J osi rzeczywistej i że jest tak regularna, jak to założono w twierdzeniu 9.2.2. Niech będzie

Jeśli

X/2

Cj^pK)-¹ inx)e-^iJ*dx=L~^l ) *({)e-²*^i!LdS, “* -142

lo z twierdzenia 9.2.2 (dla x e (- n, tc), czyli dla £ e(—%L)) wynika, że

f(* )= S Cj tf^/X j~~a>

*«)= i

i--vi