443 2

] 1.3. Zastosowania — Redukcja wariancji

443

n i

czyli wtedy, gdy

(11-3.1)

więc, jeśli pewien rodzaj eksperymentu redukuje wiariancję k -krotnie, to liczbę powtórzeń n-dna zmniejszyć również k-krotnie.

Przykład 11.3.2. Symulując dziesięciokrotnie pewien system obsługi, otrzymano następujące wartości czasu badania:

685    1045    718    615    1021    735 675    635 616    889.

Na tej podstawie szacuje się średni czas badania jako 763+52.

Z ciągu przeciwnego otrzymano wartości

731    521    585    710    527    574 607    698 761    532

Ciąg średnich wynosi zatem

708    783 652 662    774 654 641    666 688 710.

a wynika oszacowanie 694- 16. Gdy natomiast rozszerzono pierwszy ciąg o dziesięć wartości (otrzymanych za pomocą zupełnie niezależnych liczb losowych), to cały ciąg dwudziestu czasów dał oszacowanie 704+36. Te wyniki pokazują, żc - w obecnym przykładzie - użycie ciągów przeciwnych daje żądaną dokładność kosztem (y£)² * 5 razy mniejszym niż użycie ciągów zupełnie niezależnych liczb losowych. Ta ilościowa ocena oszczędności czasu obliczeń jest niepewna, gdyż opiera się na empirycznym oszacowaniu błędu średniego wynikającym z niezbyt wielu danych, wskazuje jednak na korzyść użycia techniki ciągów przeciwnych w znacznie dłuższych seriach doświadczeń.

Wprowadzono już dwie metody redukcji wariancji: ciągi przeciwne liczb losowych ■ użycie (gdzie to jest możliwe) tej samej liczby losowej w analogicznych sytuacjach. Tę ^ugą technikę stosuje się w badaniu zmian zachowania się układu w razie zmiany war--ości pewnego parametru (np. parametru k w przykładzie 11.3.1). Opracowano wiele innych s*utecznych metod redukcji wariancji. Jedną z nich pokażemy w przykładzie 11.3.3 niżej. *^1,n+ zwaną metodą rozszczepiania, omawiają Hammersley i Handscomb [149J. Ogólną jest to, że jeśli zadanie można częściowo rozwiązać metodami analitycznymi lub numerycznymi, to trzeba to zrobić. Istnieje wiele sposobów łączenia metod ^wnte Carlo z metodami analitycznymi. Więcej wiadomości o tym można znaleźć w cyto-***** \vyż_ej książce.

H.3.3. Całkowanie numeryczne. Jednym z najważniejszych zastosowań •    • ^ Monte Carlo jest obliczanie numeryczne całek wielokrotnych. Naszkicujemy po-

nuiner

losowane w takich zadaniach. Dia uproszczenia rozważymy całki pojedyncze, ^{, 0c} dla nich metoda Monte Carlo nie może konkurować z tradycyjnymi metodami

ocznymi.