7

235

2. Działania algebraiczne

Macierz odwrotna

Dla dowolnej macierzy kwadratowej nieosobliwej można obliczyć jej odwrotność. Odwrotność macierzy A oznaczamy symbolem A^-1. Odwrotność macierzy kwadratowej i symetrycznej oznaczamy literą Macierz—odwrotna spełnia następujący warunek:    —=rr-_:.

A-A~2 == A^_I-A = JE.

Własności-macierzy odwrotnej:    .

(A^-1)^-1 = A ,    |A| • |A^-1| = 1,    (A-J5)-¹ =AB~-¹-A~¹.

Ostatnia własność rozciąga się na dowolną ilość czynników.

Obliczanie- odwrotności macierzy przy pomocy dopełnień algebraicznych------------

Dla każdego elementu danej macierzy należy obliczyć dopełnienie algebraiczne i z tych nowych elementów zestawić macierz Al:

			... Mlk\
Al =	M-n	-Zif 22	... M2k
	JM-nl		Mnk_

łsastępnie należy obliczyć wartość wyznacznika |A| macierzy wyjściowej A. Po wymnożeniu macierzy dopełnień M przez odwrotność wartości wyznacznika, czyli przez 1/|A|, uzyska się transpozę odwrotności macierzy A, czyli (A^-1)'. Po zamianie wierszy na kolumny otrzyma się szukaną odwrotność macierzy . A czyli A^-1:

	pAi	-Zif 12	• Mlk]
1	Mt i	Al 22 ■	■ M2k
1-41	_Mnl	■	Mnli_

Przykład. Obliczyć odwrotność macierzy

-i::]

1. Obliczenie dopełnień algebraicznych M_ik = (— l)^i+k-m_ik:

Zif u = ( —1)¹⁺¹ • 5 =5,

M₁₂ = (-l)¹⁺²-l = -1,

M_t i = (-l)²⁺¹-2 = -2,

M₂, = ( —1')²⁺² ■ 3 = 3.