77 (191)

162

Przekształcenie Laplacea

Teraz zamiast obliczać residuum w punkcie —i, który jest biegunem sprzężonym funkcji F(s), wykorzystamy wzór

^res»k    + res_7li [ć’(s)e^>‘] = 2 Re {res_J|t [F(s)e³‘] } .

Mamy

/(<) = res, [F(s)e^3t] + res_, [F(s)e³‘] = 2 Re { res, [F(s)e³‘] }

= 2 Re [-e“ + -te'¹] = 2 Re - (^cos * + isin t) + ^t (cos t + i sin t)j = — sin t + t cos t.

b) Funkcja F(s) ma w punkcie 1 biegun jednokrotny, a w punktach — 1 + 2t, — 1 — 2i bieguny dwukrotne. Obliczymy residua funkcji F(s)e“ w punkcie 1 oraz w jednym z pary punktów sprzężonych np. w — 1 -f 2i. Mamy

resj [ć'(s)e³¹] = lim

(³ ~ !)

4s

(s- l)(s²+2s + 5)²

lim

a — l

4s

.(s² + 2s + 5)²

1 .

16 ⁶

oraz

res_i₊2i

[/'(s)e

lim

j—-i+2» as

(s + 1 - 2»)²

45

(s-l)(s+l-2«)²(s-H+2«)²

= lim — »—-l+2i ds

4s

(s — l)(s + 1 + 2i)²

= lim

' — 8a² + 4s — 8i — 4 _3t

e +

4s

(s - l)²(a + 1 + 2:)^{3 r} (s - l)(s + 1 + 2t)²

te

_ -1 ~ 2t (-i-fai)t 3 + i (-1+2,)₍ “32    ⁺ 16

Zatem

f(t) = resi [F(s)e"] -fres_i₊₂; [F(j)e³‘] + rea_r__2l [/'(sje"]

= resi [/'(s)e^,lj + 2 Re {res_i_+2l [F(s)e^3<] }

= ^e‘+2Re | —■ -^>e~^,(cos2< + isin 2t) + ^Łl<e~‘(cos 2f + tsin 2t)j

= — e‘ +    e^-* (—jr cos 2t    + ^ sin 2t    + ~t cos 2t    — i tsin    2t)    .

16 \ 16 8 8 8 /

i

łiliuuUilul!lfiuLL4j.i..t—

Sprawdzić, czy podane funkcjie są transformatami Laplace’a oryginałów okresowych. Znaleźć te oryginały i narysować ich wykresy:

=    ^b)^f'W = T^57

Rozwiązanie

a) Z postaci funkcji F(s) wynika, że może ona być transformatą oryginału o okresie T = 4.

Trzynasty tydzień - przykłady    163

2

Funkcja Ft{s) = - (l — e ^3j) jest transformatą oryginału /i(i) = 2 [1 (/) — 1(< — 3)],

który spełnia warunek /,(t) = 0 dla t > T = 4. Zatem funkcja F(s) jest transformatą oryginału okresowego

/(O =

gdzie n = 0, 1,2____

2 dla 4n $C t < 4n + 3,

0 dla 4n + 3 ^ i < 4n + 4, Wykres funkcji /(<) przedstawiono na rysunku poniżej

	y
1					•
o	i	2	3	4	5 6	7	8 <

b) Z postaci funkcji F(s) wynika, że może ona być transformatą oryginału okresowego o okresie T = 2. Funkcja

[i

jest transformatą oryginału

/i(0 = l(t) - 1(/ - 2) - e^_,l(i) + e^-V^(,-²⁾l(t - 2)

= (l ~ «“') (!(<) - 1(< - 2)) .

Oryginał ten jest równy 0 dla t > T = 2. Zatem F(s) jest transformatą oryginału okresowego f(t) o okresie T = 2, który na przedziale (0,2) jest równy 1 — e~‘. Wykres funkcji /(<) przedstawiono na rysunku poniżej.

O    2    4    6    8    1

i-*-’

• Przykład 13.3

B

Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach:

a)    y" - 3y' + 2y = te*, y(0) = 0, y'(0) = 1;

b)    y" + y¹ = 4 cos i, y(0) = 1, y'(0) = 0;

c)    yM - 4y" = 2e²\ y(0) = y'(0) = y"(0) = 0, y"'(0) = 1.

Rozwiązanie

a) Niech y(t) oznacza rozwiązanie rozważanego zagadnienia początkowego. Wtedy

y"{t) - 3y\t) + 2y(t) = te‘.

Transformując obustronnie powyższą równość otrzymamy

C{y"(t)~ 3 y'(t) + 2y(t)} =c{te'}.