Bez nazwy�

154

15.5. Globalna macierz sztywności

Macierz Ki podobnie jak macierz ki jest macierzą symetryczną i zbudowaną z bloków:

K'

K,'	K,i
K i,	Ki*

(15.18)

Bloki usytuowane na przekątnej zawierają uogólnione siły w danym węźle wywołane jednostkowymi przemieszczeniami tego węzła, natomiast bloki poza przekątną opisują wpływ przemieszczeń jednego węzła na siły występujące w drugim węźle tego elementu.

Blokowa struktura macierzy K^; jest ważna w następnym kroku MES, zwanym agregacją macierzy sztywności. Procedura ta polega na budowaniu macierzy sztywności w globalnym układzie na podstawie macierzy sztywności poszczególnych elementów. W tym celu maęierze Ki,i o budowie blokowej należy rozszerzyć do macierzy K¹^, zawierającej w każdym wierszu i kolumnie w bloków (w - liczba węzłów w modelu). Robi się to w ten sposób, że do macierzy zerowej [O]*,* wpisuje się bloki Ki* w miejsce przecięcia się r-tego wiersz i k-tej kolumny. Na przykład dla elementu nr 5 z rysunku 15.1 rozszerzona macierz ma postać:

K⁵ =

0	0	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0
0	0	Kj,	0	Kls	0
0	0	0	0	0	0
0	0	K^SSJ	0	k;5	0
0	0	0	0	0	0

(15.19)

Po zsumowaniu tak rozszerzonych macierzy sztywności wszystkich sześciu elementów konstrukcji z rysunku 15.1 otrzymamy globalną macierz sztywności całej konstrukcji

K = £k',    (15.20)

t

która wiąże przemieszczenia w układzie globalnym wszystkich węzłów z obciążeniami zewnętrznymi opisanymi również w układzie globalnym:

Kr = R.    (15.21)

Dla konstrukcji przedstawionej na rysunku 15.1 zależność powyższa ma następującą budowę:

[k!,	......^K!ł.......	0	0	0	^0 Tnl IR,
K'„	K'}:+K]}	k;3	0	0	0 r2 0
0	Kj,		Kjj	K)5	0 r3 0
0	0	K J,	Ki.+Kj,		0 r4 R4
0	0	“ii	K	K^5+Ki5+Ki3	Ki6 r5 0
0	0	0	0	K,	r6 R,

(15.22)

Powyższe równanie jest macierzowym przedstawieniem liniowego układu równań, w którym niewiadomymi są przemieszczenia węzłów, obciążenia zewnętrzne występują po prawej stronie, elementy macierzy sztywności są współczynnikami stojącymi przy niewiadomych.

W przedstawionym przykładzie liczba niewiadomych - równa stopniowi macierzy sztywności - wynosi 18 (6 węzłów x 3 stopnie swobody w węźle).

15.6. Rozwiązywanie układu równań

Współczesne komercyjne programy MES umożliwiają obliczenia na komputerach klasy PC modeli zawierających kilkaset tysięcy węzłów. Rozwiązanie tak dużej liczby równań stanowi jednak nawet dla współczesnych, szybkich komputerów już pewien problem, dotyczy on czasu obliczeń oraz wymaganej pamięci na dysku. Przy liczbie węzłów rzędu kilkunastu tysięcy problemy te jeszcze nie występują, a za pomocą tej liczby węzłów i elementów można już zamodelować istotne zadania inżynierskie.

Klasyczne metody rozwiązywania dużych iiniowych układów równań są różnymi wariantami metody eliminacji Gaussa. Obecnie rozwijane są tak zwane szybkie elementy skończone, gdzie stosuje się iteracyjne metody rozwiązywania układu równań. Otrzymywane wyniki są obarczone trochę większym błędem, ale czas obliczeń redukuje się nawet stukrotnie i występuje mniejsze zapotrzebowanie na pamięć.

Chociaż MES prowadzi do rozwiązywania bardzo dużych układów równań, ale przy właściwej numeracji węzłów macierz współczynników - macierz sztywności

-    ma pasmową budowę, co wydatnie skraca czas obliczeń i zapotrzebowanie na pamięć. W konkurencyjnej metodzie dla MES - metodzie elementów brzegowych

-    powstają mniejsze układy równań, jednak tu macierz współczynników nie ma budowy pasmowej, co powoduje, że czas obliczeń jest porównywalny w obu tych metodach.

Układ równań w postaci (15.22) ma nieskończenie wiele rozwiązań odpowiadających wszystkim możliwym ruchom analizowanej konstrukcji jako bryły sztywnej. Aby wyeliminować możliwość poruszania się modelu jako bryły sztyw-