CCF20090213109 (2)

nie ma wystarczająco dużo energii, aby ją osiągnął. (Nawiasem mówiąc samo światło nie ma masy).

Teraz rozpatrzymy odwrotny przypadek: przekazujemy energię ciału o masie m poruszającemu się z prędkością v, ale w jakiś sposób powstrzymujemy ciało przed zwiększeniem jego prędkości. Dla wygody (chociaż i bez tego założenia otrzymalibyśmy to samo) załóżmy, że obiekt znajdował się początkowo w spoczynku - czyli że jego energia kinetyczna była zerowa - i że v pozostaje równe zero pomimo dodawania energii E. Jeśli v = 0, to v²fc² też jest równe 0 i mianownik równania wynosi 1. W tym przypadku

E = mc²

Innymi słowy dodawana energia musi przekształcać się w masę, ponieważ masa jest jedyną zmienną, która może się zmieniać. Dodatkowa masa, jeśli wykonamy elementarne dzielenie, wyniesie E/c².

Jeśli chcemy dowiedzieć się, jak dużo „uśpionej” energii tkwi w 10 gramach, musimy pomnożyć 10 gramów przez prędkość światła podniesioną do kwadratu, i przeliczyć na odpowiednie jednostki. Sięgnijcie po kalkulatory!

Chaos i „odwzorowanie logistyczne"

Odwzorowanie logistyczne, które odegrało zasadniczą rolę w rozwoju historii chaosu, jest wariantem prostej zależności liniowej. Przypuśćmy, że badasz wzrost populacji określonej grupy zwierząt - powiedzmy wiewiórek w Central Parku. Nasza pierwsza hipoteza mówi, że populacja wiewiórek zwiększa się z roku na rok o stały procent, powiedzmy, że 10. W tym wypadku populacja w roku n+1 będzie wynosiła 1,1 (100% + 10%) populacji w roku n, czyli x_n + 1 - 1,1 (x_M), gdzie x_n jest populacją w roku n. Tempo zmian 1,1 jest stałe.

W miarę dalszych obserwacji dochodzimy jednak do wniosku, że wzrost populacji w ogóle nie jest stały i że samo tempo zmian zmienia się wraz z wielkością populacji. Zamiast po prostu stosować ustalony mnożnik populacji z roku na rok, jesteśmy zmuszeni zastosować współczynnik nieliniowy. Równaniem lepiej opisującym wzrost populacji wiewiórek w Central Parku jest nieliniowe odwzorowanie logistyczne, które wygląda następująco:

^Xn₊l= ^rxn(^Uxn>

Gdzie x_n oznacza populację w roku n, wyrażoną jako procent maksymalnej populacji całkowitej, a r stały współczynnik zmiany. (Jeśli maksymalna populacja wiewiórek w Central Parku wynosi 1500, a w danym roku n rzeczywista populacja wynosi 1000, wtedy

+ 1000/1500 = 0,667).

Odwzorowanie logistyczne przypomina nasze pierwotne równanie liniowe z wyjątkiem dodatkowego (nieliniowego) współczynnika 1 - x_n, który mniej wzrasta, kiedy populacja się zwiększa, a bardziej - kiedy się zmniejsza. (Ponieważ* jest wyrażone jako odsetek - czyli jest liczbą pomiędzy 0 a 1, więc \~x_n będzie zawsze dodatnie, dzięki czemu liczebność populacji nigdy nie stanie się ujemna). Równanie jest nazywane w dodatku „iteracyjnym”, ponieważ wynik z jednego roku jest potrzebny, aby uzyskać wynik w roku następnym, czyli że odwzorowanie logistyczne jest „pętlą sprzężenia zwrotnego”.

Okazuje się, że odwzorowanie logistyczne, które nie jest liniowe (jego współczynnik zmienności jest zmienną), ma kilka interesujących własności. Dla niektórych wartości r (a dokładnie wartości mniejszych od 3), liczebność populacji w końcu ustali się na jednym, dokładnie określonym, niezmieniającym się poziomie. Nie ma nawet prawie znaczenia, jaką liczebność przyjmiesz na początku -wystarczy, żeby była mała, ale różna od zera. Ten cel - wartość, do której zbliża się x_n, w miarę jak powtarzasz wyliczanie równania -jest nazywany atraktorem. Co jeszcze bardziej interesujące, kiedy r przekracza 3, populacja w końcu osiąga dwie wartości, zbliżając się do jednej w jednym roku, a do drugiej w następnym. Atraktor rozdzielił się i jest teraz nazywany „atraktorem o okresie 2”. W dodatku, jeśli zwiększymy r do mniej więcej 3,45, atraktor rozdzieli się na cztery, a później na osiem, a jeszcze później na szesnaście atrak-

221