CCF20090319045

54 Całkowanie

Jeśli funkcję podcałkową, udaje się zapisać w postaci iloczynu funkcji złożo-nej f(g(x)) i pochodnej funkcji wewnętrznej g(x), to prawdziwy jest wzór

J f(g{x))g\x)dx = J f(y)dy, gdzie y = g(x),    (3.9)

który opisuje całkowanie przez podstawienie.

Czasami wygodnie jest potraktować funkcję podcałkową jako iloczyn jednej funkcji u = /(x) i pochodnej innej funkcji v = g{x). Otrzymamy wtedy wzór

J f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - j f(x)g(x)dx,    (3.10)

który przedstawia metodę całkowania przez części.

Zauważmy, że stosując pojęcie różniczki, otrzymujemy dv = g\x) dx oraz du = f\x) dx i wzór (3.10) przyjmuje postać

J udv = uv — J vdu,    (3-11)

z której często będziemy korzystali w dalszych rozważaniach. Powyższy zapis jest powszechnie stosowany, warto więc przyzwyczaić się do niego.

Przykłady

1. Obliczyć całkę

I =

j x(x + l)(z - 3) dx.

Rozwiązanie. Doprowadzamy funkcję podcałkową do postaci wielomianu i całkujemy zgodnie z (3.2), (3.7) i (3.8), uzyskując

I = J(x³ — 2x² — Sx) dx = J x³dx — 2 J x²dx - 3 J x dx =

4* ~ 3^X

-x² + C.

2. Obliczyć całkę

Rozwiązanie. Korzys i wyłączając stałą prz

3. Obliczyć całkę

Rozwiązanie. Przeks

~ |-1

4. Obliczyć całię

Rozwiązanie. Cab£ ax = u, skąd mdx=i

5. Obliczyć raJhg

/=/

J

Rozwiązanie. ILaa sowa:

= dy. czyE x dx = ej