CCF20090321009

2, 3 łub 4 razy. Ale każdą z tych możliwości należy odróżnić, od pozostałych, ponieważ nie są one sobie równe. Piotr może osiągnąć czterokrotną wygraną w jeden tylko sposób: musiałby wygrać pierwszy, drugi, trzeci i czwarty rzut; trzykrotną wygraną natomiast można osiągnąć czterema sposobami: przegrywając bądź pierwszy, bądź drugi, bądź trzeci, bądź czwarty rzut. Łatwo zauważyć, że dwie wygrane (i dwie przegrane tym samym) można uzyskać, sześcioma różnymi sposobami, wygrywając mianowicie pierwszy i drugi rzut, bądź pierwszy i trzeci, bądź pierwszy i czwarty, bądź drugi i trzeci, bądź drugi i czwarty, bądź wreszcie trzeci i czwarty.

Zachodzi tu zresztą symetria między możliwościami Piotra i możliwościami Pawła: jeśli jeden z nich wygrywa 3 rzuty, drugi wygrywa 1 rzut; wnioskujemy zatem, że możliwości wygrania przez Piotra 4, 3, 2, 1 czy 0 rzutów wyrażają odpowiednio liczby

■1,    4,    6,    4,    1.

Liczby te otrzymuje się prostą metodą, nazwaną przez Pascala trójkątem arytmetycznym.¹ Wypiszemy tu początkowe wiersze tego trójkąta

1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10*	10	5	1
1.	6	15	20	15	6

Jeśli przyjmiemy, że każdy wiersz uzupełniają po lewej i po prawej stronie zera, to można będzie sformułować następującą regułę: każda liczba znajdująca się w danym wierszu stanowi sumę liczby położonej nad nią w wierszu bezpośrednio poprze-

i W literaturze polskiej nazywany on jest zwykle trójkątem, Pascala i w. dalszym ciągu będziemy używali tej nazwy. (Przypis red. do wydania polskiego).

dzającym i liczby położonej na lewo od tej ostatniej. Tak na przykład trzecia kolejna liczba z piątego wiersza to 10 = 6 + 4, czwarta liczba z tegoż wiersza, to 10 = 4 + 6, piąta liczba, to 5 = 1 + 4.

W przypadku gdy liczba ponawianych prób jest bardzo duża, rachunek oparty na trójkącie Pascala byłby procedurą niezmiernie żmudną lub nawet, praktycznie biorąc, niewykonalną. Ale matematycy wyprowadzili wzory, które pozwalają obliczać wyrazy trójkąta Pascala oraz sumy wyrazów trójkąta znajdujących się w określonych przedziałach. Jeśli chodzi o wyprowadzenie tych wzorów, zmuszeni jesteśmy odesłać Czytelników do prac po-„ święconych rachunkowi prawdopodobieństwa¹, tutaj zaś ograniczyć się do wykorzystania podstawowych rezultatów- Wystarczy, jeśli nasi Czytelnicy będą wiedzieli, źe rezultaty te można osiągnąć drogą prostego obliczenia wszystkich możliwości, obliczenia przeprowadzonego dla przypadku czterech kolejnych prób, które jednakże byłoby praktycznie niewykonalne dla miliona prób ².

(9) nadzieja matematyczna i liczba prawdopodobna

Rozważając zagadnienia teorii prawdopodobieństwa niejednokrotnie bywa wygodnie posłużyć się pojęciem nadziei matematycznej (zwanej też wartością oczekiwaną). Jeśli gracz ma otrzymać: określoną sumę w przypadku, gdy zajdzie pewne, zdarzenie losowe, zdarzenie, którego prawdopodobieństwo jest znane, jego nadzieję matematyczną stanowi suma, jaką powinien mu wypłacić ktoś, kto odkupiłby od niego szanse wy-

1    Patrz: np. E. Borel Elćments de la thćorie des proba-bilites [Paryż 19£9].

2    W trójkącie Pascala liczby stojące w n-tym wierszu są współczynnikami rozwinięcia (a + b)” . Na przykład (a + b)3 =»

as -I- 3 a*b -i- 3-abs + bo, współczynnikami są tu 1, 3, 3, 1, a te same cyfry znajdują się w trzecim wierszu trójkąta Pascala. (Przypis red. do wydania polskiego).

23